高中数学高考课后限时集训28 平面向量的概念及线性运算 作业

平面向量的概念及线性运算

建议用时：45分钟

一、选择题

1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.   D.

A　[由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.]

2．(2019·兰州模拟)设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝(　　)

A.－   B.＋

C.－   D.＋

B　[设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，即－－3＝－4x－4y，则解得

即＝＋，故选B.]

3．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)

A．1   B．－

C．1或－   D．－1或－

B　[由于c与d共线反向，则存在实数k使

c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．

整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.

由于a，b不共线，所以有

整理得2λ2－λ－1＝0，

解得λ＝1或λ＝－.

又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.]

4．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量＝(　　)

A.a＋b   B．－a－b

C．－a＋b   D.a－b

C　[由△CEF∽△ABF，且E是CD的中点得＝＝，则＝＝(＋)

＝＝－a＋b，故选C.]

5．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)

A．1   B.

C.   D.

D　[∵＝＋＝＋，

∴2＝＋，即＝＋.

故λ＋μ＝＋＝.]

6．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的反向延长线上

C．点P在线段AB的延长线上

D．点P不在直线AB上

B　[因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.]

7．(2019·西安调研)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且＝，＝，AC，MN交于点P.若＝λ，则λ的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[∵＝，＝，

∴＝λ＝λ(＋)＝λ

＝λ＋λ.

∵点M，N，P三点共线，

∴λ＋λ＝1，则λ＝.故选D.]

二、填空题

8．若＝，＝(λ＋1)，则λ＝        .

－　[如图，由＝，可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则＝－，结合题意可得λ＋1＝－，所以λ＝－.

]

9．(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为        ．

－　[由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.

又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，

所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)

＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，

所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，

又因为e1与e2 不共线，

所以解得k＝－.]

10．下列命题正确的是        ．(填序号)

①向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；

②在△ABC中，＋＋＝0；

③只有方向相同或相反的向量是平行向量；

④若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线．

④　[易知①②③错误．

∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．

若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．]

1.如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

C　[∵与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，∴由＝λ＋μ，两边平方得3＝λ2－λμ＋μ2，①

由＝λ＋μ，两边同乘得＝λ－，两边平方得＝λ2－λμ＋，②

①－②得＝.根据题图知μ＞0，∴μ＝1.代入＝λ－得λ＝2，∴λ＋μ＝3.故选C.]

2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)

A．3　　　　B．4  C．5　　　　D．6

B　[如图，∵D为AB的中点，则＝(＋)，又＋＋2＝0，

∴＝－，∴O为CD的中点，

又∵D为AB中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.]

3．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，则实数m的值为        ．

　[由N是OD的中点，得＝＋

＝＋(＋)＝＋，

又因为A，N，E三点共线，

故＝λ，

即m＋＝λ，

又与不共线，

所以解得故实数m＝.]

4．在等腰梯形ABCD中， ＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝        ，μ＝        .

　　[取AB的中点F，连接CF，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.

∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，∴λ＝，μ＝.]

1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A．外心　　　　　 B．内心

C．重心   D．垂心

B　[作∠BAC的平分线AD.

因为＝＋λ，

所以＝λ

＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，

所以＝·，

所以∥，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心，

故选B.]

2．(2019·安庆二模)在△ABC中，AB＝1，BC＝，CA＝3，O为△ABC的外心，若＝m＋n，其中m，n∈[0,1]，则点P的轨迹所对应图形的面积是        ．

　[由余弦定理得，cos∠BAC＝＝＝，所以∠BAC＝60°.

因此＝2OB，OB＝.由题意知，点P的轨迹所对应图形是以OB，OC为邻边的菱形，∠BOC＝120°.于是这个菱形的面积是2S△BOC＝2××OB2·sin 120°＝×＝.]