高中数学高考课后限时集训29 平面向量的概念及线性运算 作业

　　　　　　　平面向量的概念及线性运算建议用时：45分钟一、选择题1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)A.　　　　 B.C.   D.A　[由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.]2．(2019·兰州模拟)设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝(　　)A.－   B.＋C.－   D.＋B　[设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，即－－3＝－4x－4y，则解得即＝＋，故选B.]3．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)A．1   B．－C．1或－   D．－1或－B　[由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.]4．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量＝(　　)A.a＋b   B．－a－bC．－a＋b   D.a－bC　[由△CEF∽△ABF，且E是CD的中点得＝＝，则＝＝(＋)＝＝－a＋b，故选C.]5．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)A．1   B.C.   D.D　[∵＝＋＝＋，∴2＝＋，即＝＋.故λ＋μ＝＋＝.]6．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上B　[因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.]7．(2019·西安调研)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且＝，＝，AC，MN交于点P.若＝λ，则λ的值为(　　)A.   B.C.   D.D　[∵＝，＝，∴＝λ＝λ(＋)＝λ(＋)＝λ＋λ.∵点M，N，P三点共线，∴λ＋λ＝1，则λ＝.故选D.]二、填空题8．若＝，＝(λ＋1)，则λ＝________．－　[如图，由＝，可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则＝－，结合题意可得λ＋1＝－，所以λ＝－.]9．(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．－　[由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，又因为e1与e2 不共线，所以解得k＝－.]10．下列命题正确的是________．(填序号)①向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；②在△ABC中，＋＋＝0；③只有方向相同或相反的向量是平行向量；④若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线．④　[易知①②③错误．∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．]1.如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)A．1   B．2C．3   D．4C　[法一：∵与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，∴由＝λ＋μ，两边平方得3＝λ2－λμ＋μ2，①由＝λ＋μ，两边同乘得＝λ－，两边平方得＝λ2－λμ＋，②①－②得＝.根据题图知μ＞0，∴μ＝1.代入＝λ－得λ＝2，∴λ＋μ＝3.故选C.法二：建系如图：由题意可知A(1，0)，C(，)，B(－，)，∵(，)＝λ(1，0)＋μ(－，)＝(λ－μ，μ)．∵∴μ＝1，λ＝2.∴λ＋μ＝3.]2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6B　[如图，∵D为AB的中点，则＝(＋)，又＋＋2＝0，∴＝－，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.] 3．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，则实数m的值为________．　[由N是OD的中点，得＝＋＝＋(＋)＝＋，又因为A，N，E三点共线，故＝λ，即m＋＝λ，又与不共线，所以解得故实数m＝.]4．在等腰梯形ABCD中， ＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________．　　[取AB的中点F，连接CF，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋，∴λ＝，μ＝.]1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．外心　　　 B．内心C．重心   D．垂心B　[作∠BAC的平分线AD.因为＝＋λ(＋)，所以＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，所以＝·，所以∥，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.]2．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．　[＝＋＝＋，＝－＝－＋，设＝λ＝－＋λ(0≤λ≤1)，则＝＋＝＋λ.因为＝m＋n，所以m＝1－，n＝λ.所以＋＝＋＝＝≥＝.当且仅当3(λ＋4)＝，即(λ＋4)2＝时取等号．]