高中数学高考课后限时集训30 平面向量的数量积与平面向量应用举例 作业

这是一份高中数学高考课后限时集训30 平面向量的数量积与平面向量应用举例 作业，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题
1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
B [a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]
2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为( )
A.eq \f(4,13) B．－eq \f(4,13) C.eq \f(5,4) D．－eq \f(5,4)
D [∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，
∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．
∵λa＋b与b垂直， ∴(λa＋b)·b＝0，
∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，
即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－eq \f(5,4).]
3．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，则|a－b|＝( )
A.eq \r(6) B.eq \r(5) C．2 D.eq \r(3)
A [因为|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0＝6，所以|a－b|＝eq \r(6).故选A.]
4．a，b为平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
B [∵a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，∴b＝eq \f(1,2)[a－(a－2b)]＝(1，－2)，
∴a·b＝2－8＝－6.设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cs θ＝2eq \r(5)×eq \r(5)cs θ＝10cs θ，
∴10cs θ＝－6，∴cs θ＝－eq \f(3,5)，故选B.]
5.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(AD,\s\up12(→))＝( )
A．10 B．11
C．12 D．13
B [以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，eq \(AB,\s\up12(→))＝(4,1)，eq \(AD,\s\up12(→))＝eq \(BC,\s\up12(→))＝(2,3)，∴eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(AD,\s\up12(→))＝4×2＋1×3＝11，故选B.]
6．(2019·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，则“k＝－eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2,4)＝0，解得k＝－eq \f(1,2)，所以“k＝－eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选C.]
7．(2019·宝鸡模拟)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则eq \(CP,\s\up12(→))·eq \(CB,\s\up12(→))＋eq \(CP,\s\up12(→))·eq \(CA,\s\up12(→))＝( )
A．0 B．1 C.eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4)
B [以点C的坐标原点，分别以eq \(CA,\s\up12(→))，eq \(CB,\s\up12(→))的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))，所以eq \(CP,\s\up12(→))·eq \(CB,\s\up12(→))＋eq \(CP,\s\up12(→))·eq \(CA,\s\up12(→))＝eq \(CP,\s\up12(→))·(eq \(CB,\s\up12(→))＋eq \(CA,\s\up12(→)))＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)＝1.故选B.]
二、填空题
8．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的正弦值为 ．
eq \f(\r(3),2) [∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cs〈a，b〉＝4＋2cs〈a，b〉＝3，
∴cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，
∴sin〈a，b〉＝eq \r(1－cs2〈a，b〉)＝eq \f(\r(3),2).]
9．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝eq \r(3)，则a在b方向上的投影等于 ．
－eq \f(1,2) [∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝eq \r(3)，
∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，
∴a·b＝－1，
∴a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)＝－eq \f(1,2).]
10．如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若eq \(CE,\s\up12(→))＝－7eq \(DE,\s\up12(→))，3eq \(BF,\s\up12(→))＝eq \(FC,\s\up12(→))，则eq \(AF,\s\up12(→))·eq \(BE,\s\up12(→))＝ .
－11 [以A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图．
则A(0,0)，B(4,0)，E(1,4)，F(5,1)，所以eq \(AF,\s\up12(→))＝(5,1)，eq \(BE,\s\up12(→))＝(－3,4)，则eq \(AF,\s\up12(→))·eq \(BE,\s\up12(→))＝－15＋4＝－11.]
1．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
A [由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以a⊥b.将|a－b|＝2|b|两边平方，得|a|2－2a·b＋|b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，所以|a|＝eq \r(3)|b|，所以cs〈a＋b，a〉＝eq \f(a＋b·a,|a＋b||a|)＝eq \f(|a|2,2|b||a|)＝eq \f(3|b|2,2|b|·\r(3)|b|)＝eq \f(\r(3),2)，所以向量a＋b与a的夹角为eq \f(π,6)，故选A.]
2．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝eq \f(1,2)，则(a＋c)·(2b－c)的最小值为( )
A．－2 B．－eq \r(3) C．－1 D．0
B [因为a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉＝cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，所以〈a，b〉＝eq \f(π,3).不妨设a＝(1,0)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，c＝(cs θ，sin θ)，则(a＋c)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b·c－c2＝1－cs θ＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs θ＋\f(\r(3),2)sin θ))－1＝eq \r(3)sin θ，所以(a＋c)·(2b－c)的最小值为－eq \r(3)，故选B.]
3．在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，a＋c＝3，cs B＝eq \f(3,4)，则eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(BC,\s\up12(→))＝ .
－eq \f(3,2) [由a，b，c成等比数列得ac＝b2，在△ABC中，由余弦定理可得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a＋c2－3ac,2ac)，则eq \f(3,4)＝eq \f(9－3ac,2ac)，解得ac＝2，
则eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(BC,\s\up12(→))＝accs(π－B)＝－accs B＝－eq \f(3,2).]
4．(2019·衡水第二次调研)如图所示，|eq \(AB,\s\up12(→))|＝5，|eq \(AE,\s\up12(→))|＝eq \r(5)，eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(AE,\s\up12(→))＝0，且eq \(AB,\s\up12(→))＝2eq \(AD,\s\up12(→))，eq \(AC,\s\up12(→))＝3eq \(AE,\s\up12(→))，连接BE，CD交于点F，则|eq \(AF,\s\up12(→))|＝ .
eq \f(\r(145),5) [由三点共线可知，eq \(AF,\s\up12(→))＝λeq \(AB,\s\up12(→))＋(1－λ)eq \(AE,\s\up12(→))＝2λeq \(AD,\s\up12(→))＋(1－λ)eq \(AE,\s\up12(→))(λ∈R)，①
同理，eq \(AF,\s\up12(→))＝μeq \(AD,\s\up12(→))＋(1－μ)eq \(AC,\s\up12(→))＝μeq \(AD,\s\up12(→))＋3(1－μ)eq \(AE,\s\up12(→))(μ∈R)，②
由①②，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(μ＝2λ，,3－3μ＝1－λ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,5)，,μ＝\f(4,5)，))
故eq \(AF,\s\up12(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \f(3,5)eq \(AE,\s\up12(→)).
∴|eq \(AF,\s\up12(→))|＝eq \r(\f(4,25)|\(AB,\s\up12(→))|2＋\f(9,25)|\(AE,\s\up12(→))|2＋\f(12,25)\(AB,\s\up12(→))·\(AE,\s\up12(→)))＝eq \f(\r(145),5).]
1．(2019·河南创新教学联盟考试)如图所示，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3均是边长为2的正三角形，点C1，C2在线段AC3上，点Pi(i＝1,2，…，10)在B3C3上，且满足eq \(C3P1,\s\up12(→))＝eq \(P1P2,\s\up12(→))＝eq \(P2P3,\s\up12(→))＝…＝P10B3，连接AB2，APi(i＝1,2，…，10)，则eq \(∑,\s\up6(10))eq \( ,\s\d4(i＝1)) (eq \(AB2,\s\up12(→))·eq \(APi,\s\up12(→)))＝ .
180 [以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系(图略)，可得B2(3，eq \r(3))，B3(5，eq \r(3))，C3(6,0)，直线B3C3的方程为y＝－eq \r(3)(x－6)，可设Pi(xi，yi)，可得eq \r(3)xi＋yi＝6eq \r(3)，
即有eq \(AB2,\s\up12(→))·eq \(APi,\s\up12(→))＝3xi＋eq \r(3)yi＝eq \r(3)(eq \r(3)xi＋yi)＝18，
则eq \(∑,\s\up6(10))eq \( ,\s\d4(i＝1)) (eq \(AB2,\s\up12(→))·eq \(APi,\s\up12(→)))＝180.]
2．已知在△ABC所在平面内有两点P，Q，满足eq \(PA,\s\up12(→))＋eq \(PC,\s\up12(→))＝0，eq \(QA,\s\up12(→))＋eq \(QB,\s\up12(→))＋eq \(QC,\s\up12(→))＝eq \(BC,\s\up12(→))，若|eq \(AB,\s\up12(→))|＝4，|eq \(AC,\s\up12(→))|＝2，S△APQ＝eq \f(2,3)，则sin A＝ ，eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(AC,\s\up12(→))＝ .
eq \f(1,2) ±4eq \r(3) [由eq \(PA,\s\up12(→))＋eq \(PC,\s\up12(→))＝0知，P是AC的中点，由eq \(QA,\s\up12(→))＋eq \(QB,\s\up12(→))＋eq \(QC,\s\up12(→))＝eq \(BC,\s\up12(→))，可得eq \(QA,\s\up12(→))＋eq \(QB,\s\up12(→))＝eq \(BC,\s\up12(→))－eq \(QC,\s\up12(→))，即eq \(QA,\s\up12(→))＋eq \(QB,\s\up12(→))＝eq \(BQ,\s\up12(→))，即eq \(QA,\s\up12(→))＝2eq \(BQ,\s\up12(→))，
∴Q是AB边靠近B的三等分点，
∴S△APQ＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×S△ABC＝eq \f(1,3)S△ABC，
∴S△ABC＝3S△APQ＝3×eq \f(2,3)＝2.
∵S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up12(→))||eq \(AC,\s\up12(→))|sin A＝eq \f(1,2)×4×2×sin A＝2，
∴sin A＝eq \f(1,2)，∴cs A＝±eq \f(\r(3),2)，
∴eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(AC,\s\up12(→))＝|eq \(AB,\s\up12(→))||eq \(AC,\s\up12(→))|·cs A＝±4eq \r(3).]