高中数学高考课后限时集训32 数列的概念与简单表示法 作业

这是一份高中数学高考课后限时集训32 数列的概念与简单表示法 作业，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题
1．已知数列eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(7)，…，eq \r(2n－1)，eq \r(2n＋1)，则3eq \r(5)是这个数列的( )
A．第20项 B．第21项
C．第22项 D．第23项
C [由题意知，数列的通项公式为an＝eq \r(2n＋1)，令eq \r(2n＋1)＝3eq \r(5)得n＝22，故选C.]
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15 B．16 C．49 D．64
A [当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]
3．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝( )
A．2n B．2n－1
C．2n D．2n－1
C [当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.]
4．(2019·石家庄模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，则a2 020的值为( )
A．2 B．－3 C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
D [由题意知，a2＝eq \f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝eq \f(1－3,1＋3)＝－eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq \f(1,3)，a5＝eq \f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2，a6＝eq \f(1＋2,1－2)＝－3，…，
因此数列{an}是周期为4的周期数列，
∴a2 020＝a505×4＝a4＝eq \f(1,3).故选D.]
5．已知数列{an}满足a1＝3,2an＋1＝an＋1，则an＝( )
A．2n－2＋1 B．21－n＋1
C．2n＋1 D．22－n＋1
D [由2an＋1＝an＋1得2(an＋1－1)＝an－1，
即an＋1－1＝eq \f(1,2)(an－1)，又a1＝3，
∴数列{an－1}是首项为a1－1＝2，公比为eq \f(1,2)的等比数列，
∴an－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝22－n，
∴an＝22－n＋1，故选D.]
二、填空题
6．若数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(2,3)n2－eq \f(1,3)n，则数列{an}的通项公式an＝ .
eq \f(4,3)n－1 [当n＝1时，a1＝S1＝eq \f(1,3).
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(2,3)n2－eq \f(1,3)n－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)n－12－\f(1,3)n－1))＝eq \f(4n,3)－1.
又a1＝eq \f(1,3)适合上式，则an＝eq \f(4,3)n－1.]
7．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝ .
eq \f(1,n) [由an＝eq \f(n－1,n)an－1得eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n)，
∴an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×…×eq \f(a2,a1)×a1
＝eq \f(n－1,n)×eq \f(n－2,n－1)×…×eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,n).
当n＝1时，a1＝1适合上式．
故an＝eq \f(1,n).]
8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，则数列{an}的通项公式an＝ .
(n－1)2 [由题意知an－an－1＝2n－3(n≥2)，
则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1
＝eq \f(n－12n－2,2)＝(n－1)2.]
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
[解] (1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，
当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，
又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．
(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2.
由于a1不适合此式，所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6，n＝1，,2×3n－1＋2，n≥2.))
10．已知Sn为正项数列{an} 的前n项和，且满足Sn＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n)＋eq \f(1,2)an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)由Sn＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n)＋eq \f(1,2)an(n∈N*)，
可得a1＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,1)＋eq \f(1,2)a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,2)＋eq \f(1,2)a2，
解得a2＝2；
同理a3＝3，a4＝4.
(2)Sn＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n)＋eq \f(1,2)an，①
当n≥2时，Sn－1＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n－1)＋eq \f(1,2)an－1，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
1．已知各项都为正数的数列{an}满足aeq \\al(2,n＋1)－an＋1an－2aeq \\al(2,n)＝0，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝3n－1
C．an＝2n D．an＝3n
C [∵aeq \\al(2,n＋1)－an＋1an－2aeq \\al(2,n)＝0，
∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0.
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an＋1＋an＞0，
∴an＋1－2an＝0，
即an＋1＝2an(n∈N*)，
∴数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a1＝2，∴an＝2n.]
2．已知正项数列{an}中，eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an)＝eq \f(nn＋1,2)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n2
C．an＝eq \f(n,2) D．an＝eq \f(n2,2)
B [∵eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an)＝eq \f(nn＋1,2)，
∴eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an－1)＝eq \f(nn－1,2)(n≥2)，
两式相减得eq \r(an)＝eq \f(nn＋1,2)－eq \f(nn－1,2)＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①
又当n＝1时，eq \r(a1)＝eq \f(1×2,2)＝1，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*.故选B.]
3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝ .
－eq \f(1,n) [∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn＋1)＝1，即eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1.
又eq \f(1,S1)＝－1，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴eq \f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
∴Sn＝－eq \f(1,n).]
4．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)由题意可得a2＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(1,4).
(2)由aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2).
故{an}是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，因此an＝eq \f(1,2n－1).
1．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且aeq \\al(2,n)－9＝4(Sn－n)，则数列{an}的通项公式an＝ .
2n＋3 [当n＝1时，aeq \\al(2,1)－9＝4(a1－1)，得a1＝5或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，aeq \\al(2,n－1)－9＝4(Sn－1－n＋1)，所以aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝4an－4，整理得(an－2)2＝aeq \\al(2,n－1).因为数列{an}的各项均为正数，所以an－2＝an－1，即an－an－1＝2(n≥2)，所以数列{an}是以5为首项，2为公差的等差数列，所以an＝5＋(n－1)×2＝2n＋3.]
2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
[解] (1)由n2－5n＋4