高中数学高考课后限时集训34 等差数列及其前n项和 作业

　　　　　　　等差数列及其前n项和

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一、选择题

1．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于(　　)

A．－2　 B．－

C.   D．2

B　[由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.故选B.]

2．(2019·峨眉山模拟)在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于(　　)

A．66   B．132

C．－66   D．－132

D　[因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，所以a3＋a9＝－24，

又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12，

S11＝＝＝－132，故选D.]

3．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5＝(　　)

A．9   B．10

C．11   D．12

D　[由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12.故选D.]

4．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，则λ的值为(　　)

A．15   B．21

C．23   D．25

D　[由题意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2d.

∴λ＝＝＝＝25，故选D.]

5．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为(　　)

A．6   B．7

C．8   D．9

C　[∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11.

∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0

∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…

∴使Sn取最小值的n的值为8.故选C.]

二、填空题

6．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝____________．

4　[设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得2a1＝d，所以＝＝＝4.]

7．(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．

16　[由题意可得：

解得

则S8＝8a1＋d＝－40＋28×2＝16.]

8．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：

①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正确的结论是________．(填序号)

①③　[a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，

所以a1＝－9d，

a10＝a1＋9d＝0，故①正确；

由于d的符号未知，所以S10不一定最大，故②错误；

S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，

所以S7＝S12，故③正确；

S20＝20a1＋190d＝10d，不一定为0，故④错误．

所以正确的是①③.]

三、解答题

9．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.

(1)证明：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)证明：∵－

＝＝，

∴bn＋1－bn＝，

∴{bn}是等差数列．

(2)由(1)及b1＝＝＝1.

知bn＝n＋，

∴an－1＝，∴an＝.

10．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝－a5.

(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；

(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

[解]　(1)设{an}的公差为d.

由S9＝－a5得a1＋4d＝0.

由a3＝4得a1＋2d＝4.

于是a1＝8，d＝－2.

因此{an}的通项公式为an＝10－2n.

(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，

Sn＝.

由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．

1．(2019·开福区校级模拟)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为(　　)

A．1.5尺   B．2.5尺

C．3.5尺   D．4.5尺

B　[设此等差数列{an}的公差为d，

则a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，9a1＋d＝85.5，

解得d＝－1，a1＝13.5.则a12＝13.5－11＝2.5.故选B.]

2．(2019·深圳模拟)若{an}是等差数列，首项a1＞0.a2 018＋a2 019＞0，a2 018·a2 019＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是(　　)

A．2 018   B．2 019

C．4 036   D．4 037

C　[{an}是等差数列，首项a1＞0.a2 018＋a2 019＞0，a2 018·a2 019＜0，所以{an}是递减的等差数列，且a2 018＞0，a2 019＜0，因为a2 018＋a2 019＝a1＋a4 036＞0，

2a2 019＝a1＋a4 037＞0，

∴S4 036＝×4 036＞0，S4 037＝×4 037＜0，

所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4 036.故选C.]

3．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．

－　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，

∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，

又由a1＝－1，知Sn≠0，

∴－＝1，

∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，

∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，

∴Sn＝－.]

4．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.

(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；

(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.

[解]　(1)证明：由题意得an＝8－2n，

因为an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，且a1＝8－2＝6，

所以数列{an}是首项为6，公差为－2的等差数列．

(2)由题意得bn＝|8－2n|.

由b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，

可知此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列．

所以当n≤4时，Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n，

当n≥5时，Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝n2－7n＋24.

故Sn＝

1．在数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn.若点在直线y＝2x－1上，则a9等于(　　)

A．1 290   B．1 280

C．1 281   D．1 821

C　[由已知可得－1＝2，

又－1＝a1－1＝1，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以－1＝2n－1，得Sn＝n(1＋2n－1)，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2n－2＋1，

故 a9＝10×128＋1＝1 281.]

2．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

[解]　(1)设数列{an}的公差为d，由题意有

2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.

解得a1＝1，d＝.

所以{an}的通项公式为an＝.

(2)由(1)知，bn＝.

当n＝1，2，3时，1≤＜2，bn＝1；

当n＝4，5时，2≤＜3，bn＝2；

当n＝6，7，8时，3≤＜4，bn＝3；

当n＝9，10时，4≤＜5，bn＝4.

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.