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高中数学高考课后限时集训42 空间几何体的结构及其表面积、体积 作业
展开空间几何体的结构及其表面积、体积建议用时:45分钟一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B.水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C.一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形,则该直四棱柱就是长方体D.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台[答案] D2.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为( )A.π B.πC.16π D.24πB [设球的半径为R,则S=4πR2=16π,解得R=2,则球的体积V=πR3=π.]3.《九章算术》是我国古代数学名著,在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.若某“阳马”的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该“阳马”的表面积为( )A.1+ B.1+2C.2+ D.2+2C [由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形,高为1,则表面积为1+2××1×1+2×××1=2+,故选C.]4.用长为8,宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱,则圆柱的轴截面的面积为( )A.32 B.C. D.B [若8为底面周长,则圆柱的高为4,此时圆柱的底面直径为,其轴截面的面积为;若4为底面周长,则圆柱的高为8,此时圆柱的底面直径为,其轴截面的面积为.]5.(2019·哈尔滨模拟)将半径为3,圆心角为的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的表面积为( )A.π B.2πC.3π D.4πB [半径为3,圆心角为的扇形弧长为2π,故其围成的圆锥母线长为3,底面圆周长为2π,得其底面半径为1,如图,MB=1,AB=3, ∴AM=2,由相似可得=,得ON=,∴S球=4π×=2π.故选B.]二、填空题6.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.2+ [如图1,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E.图1 图2在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=.而四边形AECD为矩形,AD=1,∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC=+1.由此可还原原图形如图2.在原图形中,A′D′=1,A′B′=2,B′C′=+1,且A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′,∴这块菜地的面积S=(A′D′+B′C′)·A′B′=××2=2+.]7.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g.118.8 [由题易得长方体ABCDA1B1C1D1的体积为6×6×4=144(cm3),四边形EFGH为平行四边形,如图所示,连接GE,HF,易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半,即×6×4=12(cm2),所以V四棱锥OEFGH=×3×12=12(cm3),所以该模型的体积为144-12=132(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g).]8.(2019·中原六校联考二模)已知三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在球O的球面上,该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同,若球O的表面积为20π,则三棱柱的体积为________.6 [因为三棱柱ABCA1B1C1的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同,所以该三棱柱的底面是等边三角形,设三棱柱底面边长为a,高为h,截面圆的半径为r,球半径为R, ∵球O的面积为20π,4πR2=20π,解得R=,底面和侧面截得的圆的大小相同,∴()2+()2=()2, ∴a=h,①又∵()2+()2=R2, ②由①②得a=2,h=2,三棱柱的体积为V=×(2)2×2=6.故选A.]三、解答题9.若圆锥的表面积是15π,侧面展开图的圆心角是60°,求圆锥的体积.[解] 设圆锥的底面半径为r,母线为l,则2πr=πl,得l=6r.又S锥=πr2+πr·6r=7πr2=15π,得r=,圆锥的高h===·r=·=5,V=πr2h=π××5=π.10.如图所示,正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别为4 cm和16 cm,求棱台的侧棱长和斜高.[解] 设棱台两底面的中心分别为O′和O,B′C′,BC的中点分别为E′,E,连接O′B′,O′E′,O′O,OE,OB,EE′,则四边形O′E′EO,OBB′O′均为直角梯形.在正方形ABCD中,BC=16 cm,则OB=8 cm,OE=8 cm,在正方形A′B′C′D′中,B′C′=4 cm,则O′B′=2 cm,O′E′=2 cm,在直角梯形O′OBB′中,BB′==19(cm);在直角梯形O′OEE′中,EE′==5(cm).所以这个棱台的侧棱长为19 cm,斜高为5 cm.1.用一个平面去截正方体,则截面图形有下述四个结论:①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形其中所有正确结论的编号是( )A.①②③ B. ①②④ C.②③④ D. ①②③④B [用一个平面去截正方体,则截面的情况为:①截面为三角形时,可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角三角形、直角三角形;②截面为四边形时,可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形,但不可能是直角梯形;③截面为五边形时,不可能是正五边形;④截面为六边形时,可以是正六边形.]2.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( )A. B.C. D.A [由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是△ABC,O是SC的中点,因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍,所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍.在三棱锥OABC中,其棱长都是1,如图所示,S△ABC=×AB2=,高OD==,∴VSABC=2VOABC=2×××=.]3.(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_________个面,其棱长为__________. 图1 图226 -1 [依题意知,题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上,且该半正多面体的表面由18个正方形,8个正三角形组成,因此题中的半正多面体共有26个面.注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形,设题中的半正多面体的棱长为x,则x+x+x=1,解得x=-1,故题中的半正多面体的棱长为-1.]4.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.[解] 法一:(分割法)如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.则V几何体=V三棱柱+V四棱锥.由题知三棱柱ABCNDM的体积为V1=×8×6×3=72.四棱锥DMNEF的体积为V2=×S梯形MNEF×DN=××(1+2)×6×8=24,则几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.法二:(补形法)用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,所以V几何体=V三棱柱=×S△ABC×AA′=×24×8=96.1.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,点D为侧棱BB1上的动点,当AD+DC1最小时,三棱锥DABC1的体积为________. [将直三棱柱ABCA1B1C1的两侧面展开成矩形ACC1A1,如图,连接AC1,交BB1于D,此时AD+DC1最小.∵AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,点D为侧棱BB1上的动点,∴当AD+DC1最小时,BD=1,此时三棱锥DABC1的体积为VDABC1=VC1ABD=·S△ABD·B1C1=×AB·BD·B1C1=××1×1×2=.]2.(2019·吉林长春三模)我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示,图中网格纸上小正方形的边长为1,对该几何体有如下描述:①四个侧面都是直角三角形;②最长的侧棱长为2;③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形;④外接球的表面积为24π.其中正确的描述为________.①②④ [由三视图还原几何体,其示意图如图所示.可知该几何体为四棱锥,PA⊥底面ABCD,PA=2,底面ABCD为矩形,AB=2,BC=4.由勾股定理易得,该四棱锥的四个侧面都是直角三角形,故①正确;由已知可得,PB=2,PC=2,PD=2,则四棱锥最长的侧棱长为2,四个侧面均不全等,故②正确,③错误;把四棱锥补形为长方体,则其外接球半径为PC=,外接球表面积为4π×()2=24π,故④正确.]
