高中数学高考课后限时集训43 空间点、直线、平面之间的位置关系 作业

空间点、直线、平面之间的位置关系

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一、选择题

1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)

A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c

C　[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.]

2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是(　　)

A．①　　　 B．①④

C．②③   D．③④

B　[①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B.]

3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)

A　　　　B　　　C　　　D

D　[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]

4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A．直线AC

B．直线AB

C．直线CD

D．直线BC

C　[由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，

又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，

所以点D在平面ABC与平面β的交线上．

又因为C∈平面ABC，C∈β，

所以点C在平面β与平面ABC的交线上，

所以平面ABC∩平面β＝CD.]

5．(2019·陕西省第三次联考)已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)

A.    B.

C.　   D.

B　[如图，设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)．

设三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长均为1，

则AD＝，A1D＝，A1B＝，

由余弦定理，得cos∠A1AB＝＝＝.故选B.]

二、填空题

6．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定________个平面．

4　[首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面．]

7．在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．

或　[如图，取BC的中点O，连接OE，OF.

因为OE∥AC，OF∥BD，

所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝.]

8．(2019·长白山模拟)下列命题中不正确的是________．(填序号)

①没有公共点的两条直线是异面直线；

②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；

③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；

④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．

①②　[没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b，又c∥a，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不平行；命题④正确，若c与两异面直线a，b都相交，可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面．]

三、解答题

9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

[解]　(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，易知A1D ∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．

因为AB1＝AC＝B1C，

所以∠B1CA＝60°.

即A1D与AC所成的角为60°.

(2)连接BD，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.

因为E，F分别为AB，AD的中点，

所以EF∥BD，所以EF⊥AC.

所以EF⊥A1C1.

即A1C1与EF所成的角为90°.

10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

[解]　(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC.

∴四边形BCHG为平行四边形．

(2)∵BE綊AF，G为FA的中点，

∴BE綊FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.

由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．

1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]

2．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小为(　　)

A．30°   B．60°

C．75°   D．90°

D　[将正三棱柱ABC­A1B1C1补为四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2，又因为BC1＝C1D＝，所以∠BC1D＝90°.]

3．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

①③　[如图，①AB⊥EF，正确；②显然AB∥CM，所以不正确；③EF与MN是异面直线，所以正确；④MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.]

4．(2019·上海高考改编)如图，在正三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝BC＝AC＝.

(1)若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN夹角的余弦值；

(2)求P­ABC的体积．

[解]　(1)∵M，N分别为PB，BC的中点，

∴MN∥PC，

则∠PCA为AC与MN所成角，

在△PAC中，由PA＝PC＝2，AC＝，

可得cos∠PCA

＝＝＝，

∴AC与MN夹角的余弦值为.

(3)过P作底面垂线，垂足为O，则O为底面三角形的中心，连接AO并延长，交BC于N，则AN＝，

AO＝AN＝1.

∴PO＝＝.

∴VP­ABC＝××××＝.

1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为(　　)

A.   B．－

C.   D．－

A　[如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，

则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，

∴∠FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角．

设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，

∴△EFG是等边三角形，

∴∠FEG＝60°，

∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.]

2.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为________．

　[如图，取BC的中点H，连接FH，AH，所以BE∥FH，所以∠AFH即为异面直线AF与BE所成的角．过A作AG⊥EF于G，

则G为EF的中点．连接HG，HE，则△HGE是直角三角形．设正方形边长为2，则EF＝，HE＝，EG＝，AG＝，所以HG＝＝，所以AH＝＝.由余弦定理知cos∠AFH＝＝＝.]