高中数学高考课后限时集训48 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 作业

直线的倾斜角、斜率与直线的方程

建议用时：45分钟

一、选择题

1．(2019·衡水质检)直线2x·sin 210°－y－2＝0的倾斜角是(　　)

A．45°　　　B．135°　　　C．30°　　　D．150°

B　[由题意得，直线的斜率k＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1，即tan θ＝－1(θ为倾斜角)，∴θ＝135°，故选B.]

2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)

A.x－y＋1＝0   B.x－y－＝0

C.x＋y－＝0   D.x＋y＋＝0

D　[由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.]

3．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)

A．x＝2   B．y＝1

C．x＝1   D．y＝2

A　[直线y＝－x－1的斜率为－1，故其倾斜角为，故所求直线的倾斜角为，直线方程为x＝2.]

4．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)

A．－1＜k＜   B．－1＜k＜

C．k＞或k＜－1   D．k＜－1或k＞

D　[设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.]

5．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D

B　[直线l1的方程为y＝－ax－b，直线l2的方程为y＝－bx－a，即直线l1的斜率和纵截距与直线l2的纵截距和斜率相等．逐一验证知选B.]

二、填空题

6．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为        ．

x＋13y＋5＝0　[BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.]

7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是        ．

y＝x－6或y＝－x－6　[与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为

k＝tan 60°＝或k＝tan 120°＝－

故所求直线方程为y＝x－6或y＝－x－6.]

8．设直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点        ．

(2，－2)　[直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，

由解得

所以直线l恒过定点(2，－2)．]

三、解答题

9．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：

(1)直线l的斜率为1；

(2)直线l在x轴上的截距为－3.

[解]　(1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，

于是直线l的方程可化为y＝－x＋.

由题意得－＝1，解得m＝－1.

(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.

由题意得2m－6＝－3，解得m＝.

法二：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.

10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(－3,4)；

(2)斜率为.

[解]　(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，

由已知，得＝6，

解得k1＝－或k2＝－.

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

(2)设直线l在y轴上的截距为b，

则直线l的方程是y＝x＋b，

它在x轴上的截距是－6b，

由已知，得|(－6b)·b|＝6，∴b＝±1.

∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

1．直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.　　　　　　 B.

C.   D.

B　[由题意知，直线的斜率k＝2cos α，又≤α≤，所以≤cos α≤，即1≤k≤，设直线的倾斜角为θ，则1≤tan θ≤，故θ∈.]

2．(2019·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　)

A．1　　　　B．2  C．4　　　　D．8

C　[∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，

∴a＋b＝ab，即＋＝1，

∴a＋b＝(a＋b)

＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．

∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.]

3．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值是        ．

－　[的几何意义是点P(x，y)与点Q(3,0)连线的斜率，又点P(x，y)在线段AB上，由图知，当点P与点B重合时，有最大值，又kBQ＝＝－，因此的最大值为－.

]

4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

[解]　(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，

故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．

(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，

则直线l在y轴上的截距为2k＋1，

要使直线l不经过第四象限，

则

故k的取值范围是k≥0.

(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，

在y轴上的截距为1＋2k，且k＞0，

所以A，B(0,1＋2k)，

故S＝|OA||OB|

＝××(1＋2k)

＝≥×(4＋4)＝4，

当且仅当4k＝，即k＝时取等号，

故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

1．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)

A．3x－y－6＝0   B．3x＋y＋6＝0

C．3x－y＋6＝0   D．3x＋y－6＝0

C　[法一：在等腰三角形MON中，因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.

法二：由题意知，点O，N关于直线x＝－1对称，则N(－2,0)，从而直线MN的方程为＝，即3x－y＋6＝0，故选C.]

2．如图所示，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)做直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

[解]　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，

kOB＝tan (180°－30°)＝－，

所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.

设A(m，m)，B(－n，n)，

所以AB的中点C，

由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得

解得m＝，所以A(，)．

又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，

所以lAB：y＝(x－1)，

即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.