高中数学高考课后限时集训49 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 作业

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

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一、选择题

1．(2019·合肥模拟)直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　)

A.　　　B.　　　C．－　　　D．－

A　[设直线l的斜率为k，则k＝－＝.]

2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A．k1<k2<k3

B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1

D．k1<k3<k2

D　[直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2.]

3. 若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点在同一条直线上，则m的值为(　　)

A．－2  B．2  C．－  D.

D　[因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以＝，解得m＝.故选D.]

4．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为(　　)

A．－  B．－3  C.  D．3

[答案]　A

5．过点A(4，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是(　　)

A．x＋y＝5

B．x－y＝5

C．x＋y＝5或x－4y＝0

D．x－y＝5或x＋4y＝0

C　[若直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点，则直线方程为x－4y＝0；若直线在两坐标轴上的截距不为0，设为a(a≠0)，则直线的方程为＋＝1.又直线过点A(4，1)，则a＝5，故直线的方程为x＋y＝5.综上所述，故选C.]

二、填空题

6．直线kx＋y＋2＝－k，当k变化时，所有的直线都过定点________．

(－1，－2)　[kx＋y＋2＝－k可化为y＋2＝－k(x＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2)．]

7．已知A(3，4)，B(－1，0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是________．

x＋y－2－＝0　[设AB的中点为M，则M(1，2)，又斜率k＝－，直线的方程为y－2＝－(x－1)．即x＋y－2－＝0.]

8．若直线l过点P(－3，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．

　[因为P(－3，2)，A(－2，－3)，B(3，0)，

则kPA＝＝－5，

kPB＝＝－.

如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.]

三、解答题

9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(－3，4)；

(2)斜率为.

[解]　(1)由题意知，直线l存在斜率．

设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，

它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，

由已知，得(3k＋4)＝±6，

解得k1＝－或k2＝－.

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

(2)设直线l在y轴上的截距为b，

则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

由已知，得|－6b|·|b|＝6，∴b＝±1.

∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

10．过点P(3，0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程．

[解]　设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上．

由题意知则点B(6－x，－y)，

解方程组得

则所求直线的斜率k＝＝8，

故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.

1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　)

A．y－1＝3(x－3)   B．y－1＝－3(x－3)

C．y－3＝3(x－1)   D．y－3＝－3(x－1)

D　[因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1). ]

2．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)

A．[－2，2]    B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞)

C　[令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．]

3．已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．

4x－3y－4＝0　[由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，

因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，

所以直线l的斜率k＝tan  2α＝＝＝，

所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，

即4x－3y－4＝0.]

4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．

[解]　(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，

故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．

(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，

则直线l在y轴上的截距为2k＋1，

要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，

故k的取值范围是[0，＋∞)．

1．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)

A.   B.  C.  D.

C　[由f＝f知函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－，所以直线的倾斜角为，故选C.]

2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P的横坐标的取值范围为(　　)

A．   B．[－1，0]

C．[0，1]   D．

A　[由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.

因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1.

所以－1≤x0≤－.故选A.]