高中数学高考课后限时集训51 圆的方程 作业

　　　　　　　圆的方程

建议用时：45分钟

一、选择题

1．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为(　　)

A．(－1，1)　　　　 B．(－1，0)

C．(1，－1)   D．(0，－1)

D　[由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝＝，

要使圆的面积最大，须使半径最大，

所以当k＝0时，rmax＝＝1，

此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，

即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．]

2．以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0，2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝5   B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5

C．(x－1)2＋y2＝5   D．x2＋(y－1)2＝5

A　[由题意得，点(a，1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r.

∴＝，解得a＝1.

∴r＝＝，

∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.]

3．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为(　　)

A.＋2   B.

C．5   D．6

A　[的几何意义为点P(x，y)与点A(1，1)之间的距离．易知点A(1，1)在圆x2＋(y＋4)2＝4的外部，由数形结合可知的最大值为＋2＝＋2.故选A.]

4．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是(　　)

A．(x＋3)2＋y2＝4   B．(x－3)2＋y2＝4

C．(2x－3)2＋4y2＝1   D.＋y2＝

C　[设中点M(x，y)，则动点A(2x－3，2y)．∵点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故选C.]

5．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)

A．2   B．8

C．4   D．10

C　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则

解得

∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.

令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，

∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，

∴|MN|＝4，故选C.]

二、填空题

6．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．

4　[如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，

又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]

7．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________．

(x－2)2＋(y－1)2＝1　[设对称圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，圆心(1，2)关于直线y＝x的对称点为(2，1)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]

8．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3)，若M(m，)在圆C内，则m的范围为________．

(0，4)　[设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32.所以a＝2.

半径r＝|CA|＝＝.

故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

由题意知(m－2)2＋()2＜10，解得0＜m＜4.]

三、解答题

9．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)求的最大值和最小值．

[解]　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，

可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，

∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.

又|QC|＝＝4，

∴|MQ|max＝4＋2＝6，

|MQ|min＝4－2＝2.

(2)可知表示直线MQ的斜率k.

设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.

由直线MQ与圆C有交点，所以≤2，

可得2－≤k≤2＋，

∴的最大值为2＋，最小值为2－.

10.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2，高为3.

(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；

(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．

[解]　(1)由已知可知A(－3，0)，B(3，0)，C(，3)，D(－，3)，

设圆心E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知

(0－3)2＋(b－0)2＝(0－)2＋(b－3)2，解得b＝1.

所以r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10.

所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.

(2)设P(x，y)，由点P是MN中点，得M(2x－5，2y－2)．

将M点代入圆的方程得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，

即＋＝.

1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2，6]   B．[4，8]

C．[，3]   D．[2，3]

A　[圆心(2，0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．]

2．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为(　　)

A．1   B．5

C．4   D．3＋2

D　[由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，

∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，

∴＋＝(a＋b)＝3＋＋

≥3＋2＝3＋2，

当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．

∴＋的最小值为3＋2.]

3．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________．

(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2　[设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.

由题意可知∴或

故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.]

4．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程．

[解]　(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．

则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.

(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得

a＋b－3＝0.①

又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，

所以(a＋1)2＋b2＝40.②

由①②解得 或

所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．

所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

1．(2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．

12　[由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.]

2.在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.

(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．

[解]　由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．

(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－.

此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，

半径r＝|CM|＝，

故所求圆的方程为＋y2＝.

(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，

将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，

所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.

整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.

令可得或

故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和.