高中数学高考课后限时集训53 直线与椭圆的综合问题 作业

直线与椭圆的综合问题

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一、选择题

1．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)

A．－　　　B．－　　　C．－　　　D．－

A　[设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144,4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.]

2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)   B．(1,3)∪(3，＋∞)

C．(3，＋∞)   D．(0,3)∪(3，＋∞)

B　[由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.

由Δ＞0且m≠3及m＞0得m＞1且m≠3.]

3．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(　　)

A.      B.  C.   D．2

B　[由条件知c＝1，e＝＝，所以a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，，所以|AB|＝.]

4．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k等于(　　)

A．±   B．±  C．±   D．±2

A　[由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k＞0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得解得k＝；同理可得当k＜0时k＝－.故选A.]

5．(2019·长春模拟)经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)

A．－3   B．－

C．－或－3   D．±

B　[依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1.代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.

所以两个交点坐标为A(0，－1)，B，所以·＝(0，－1)·＝－.同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.]

二、填空题

6．直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是        ．

相交　[直线方程y＝kx＋k＋1，可化为y＝k(x＋1)＋1，则直线恒过定点(－1,1)，又＋＜1，则点(－1,1)在椭圆＋＝1内，故直线与椭圆相交．]

7．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为        ．

＋＝1　[由题意知椭圆C的焦点在x轴上，且c＝1，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞1)，由|AB|＝3，知点在椭圆上，代入椭圆方程得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝(舍去)．故椭圆C的标准方程为＋＝1.]

8．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于        ．

　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

∴＋＝0，

即＝－.

又x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，＝－.

∴－＝－.

∴e2＝1－＝，即e＝.]

三、解答题

9．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．

[解]　(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x′，y′)，由已知得因为点P在圆x2＋y2＝25上，所以x′2＋y′2＝25，

即x2＋2＝25，

整理，得＋＝1，

即C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，

得＋＝1，即x2－3x－8＝0.

所以x1＋x2＝3，x1·x2＝－8，所以线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.

所以直线被C所截线段的长度为.

10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．

[解]　(1)∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，所以e＝＝.

(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，设B(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B.

将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，

即＋＝1，解得a2＝3c2，①

又由·＝(－c，－b)·＝，

得b2－c2＝1，即a2－2c2＝1.②

由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.

所以椭圆的方程为＋＝1.

1．(2019·福州模拟)已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，直线l：y＝x－，在l上满足|PM|＋|PN|＝2的点P的个数为(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．0或1或2

B　[由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，

故c＝1，a＝，b＝1，其方程为＋y2＝1.

由得3x2－4x＋4＝0.

Δ＝(－4)2－4×3×4＝0，则在l上满足|PM|＋|PN|＝2的点P有1个，故选B.]

2．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)

A．4   B．3  C．2   D．1

D　[因为(＋)·＝(＋)·＝·＝0，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，所以mn＝2，所以S△F1PF2＝mn＝1.故选D.]

3．若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为        ．

x2＋＝1　[设点A在点B上方，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.]

4．(2019·石家庄模拟)已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．

[解]　(1)由已知得

解得

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．

由消去y，整理得

4x2＋6mx＋3m2－12＝0，

由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，

由Δ＝36m2－16(3m2－12)＞0，得m2＜16，

则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，即D.

因为AB是等腰△PAB的底边，

所以PD⊥AB，

即PD的斜率k＝＝－1，

解得m＝2，满足m2＜16.

此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，

则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，

又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.

1．已知椭圆C：＋＝1与圆M：(x＋)2＋(y－2)2＝r2(0＜r＜)，过椭圆C的上顶点P作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于A，B两点(不同于点P)，则直线PA与直线PB的斜率之积等于        ．

1　[圆心为M(－，2)，P(0，)，设切线为y＝kx＋，由点到直线距离得d＝＝r，(2－r2)k2＋4k＋(2－r2)＝0，k1k2＝1.]

2．(2019·西安模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

[解]　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意有＝，a＝，所以c＝，b＝1，

所以所求椭圆方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

①当AB⊥x轴时，|AB|＝；

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，

由已知得＝，即m2＝(1＋k2)．

把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)

＝＝＝3＋

＝3＋≤3＋＝4(k≠0)，

当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．

又当k＝0时，|AB|＝.

综上所述，|AB|max＝2，所以当|AB|最大时，△AOB面积取最大值，

S＝×|AB|max×＝.