高中数学高考课后限时集训55 抛物线 作业

抛物线建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝(　　)A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．8D　[抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的焦点坐标为(±eq \r(2p)，0)．由题意得eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，∴p＝0(舍去)或p＝8.故选D.]2．(2019·厦门模拟)已知抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于(　　)A.eq \f(9,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(1,18) D.eq \f(1,6)D　[由抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，可得p＝3，则抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,3)y，则抛物线的焦点到准线的距离等于eq \f(1,6).故选D.]3．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是(　　)A．y2＝－4x B．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4yC　[设所求抛物线方程为y2＝kx或x2＝my，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k＝16或4m＝16，解得k＝－4或m＝4，所求抛物线方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.]4．已知AB是抛物线y2＝8x的一条焦点弦，|AB|＝16，则AB中点C的横坐标是(　　)A．3 B．4 C．6 D．8C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝16，又p＝4，所以x1＋x2＝12，所以点C的横坐标是eq \f(x1＋x2,2)＝6.]5．(2019·龙岩模拟)若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)A．1 B．2 C．3 D．5A　[由|AB|＝4eq \r(2)及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为2eq \r(2)，代入y2＝4x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2.又y2＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2－1＝1，故选A.]二、填空题6．若抛物线x2＝4y上的点A到焦点的距离为10，则点A到x轴的距离是 ．9　[根据题意，抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，点A到准线的距离为10，故点A到x轴的距离是9.]7．已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是 ．6eq \r(3)　[如图，设△AOB的边长为a，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a))，∵点A在抛物线y2＝3x上，∴eq \f(1,4)a2＝3×eq \f(\r(3),2)a，∴a＝6eq \r(3).]8．直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝eq \f(16,3)，则k＝ .±eq \r(3)　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝eq \f(16,3)，所以x1＋x2＝eq \f(10,3).联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1))得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)＝eq \f(10,3)，所以k＝±eq \r(3).]三、解答题9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A(2，y0)，且点A到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l：y＝x＋m与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OP⊥OQ，求实数m的值．[解]　(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A(2，y0)，且点A到准线的距离为4，∴2＋eq \f(p,2)＝4，∴p＝4，∴抛物线的方程为y2＝8x.(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,y2＝8x))得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝8，y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝8m.∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，∴m＝0或m＝－8.经检验，当m＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O重合，不符合题意．当m＝－8时，Δ＝(－24)2－4×64＞0，符合题意．综上，实数m的值为－8.10．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线．[解]　(1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋eq \f(p,2)＝3，解得p＝2.∴抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明：∵点A(2，m)在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m＝±2eq \r(2)，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2eq \r(2))，由A(2,2eq \r(2))，F(1,0)，∴直线AF的方程为y＝2eq \r(2)(x－1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)x－1，,y2＝4x，))得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或eq \f(1,2)，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2))).又G(－1,0)，∴kGA＝eq \f(2\r(2),3)，kGB＝－eq \f(2\r(2),3)，∴kGA＋kGB＝0，∴∠AGF＝∠BGF.∴GF为∠AGB的平分线．1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线方程为x＝－2，过点F的直线与抛物线C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，若|MN|＝8，则yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2)＝(　　)A．16 B．32 C．24 D．48B　[由准线方程为x＝－2，可知p＝4，则抛物线C的方程为y2＝8x.由抛物线的定义可知，|MN|＝|MF|＋|NF|＝x1＋x2＋4＝8，则x1＋x2＝4，即eq \f(y\o\al(2,1),8)＋eq \f(y\o\al(2,2),8)＝4，故yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2)＝32.故选B.]2．(2019·大庆模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，R为线段AB的中点．若|FA|＋|FB|＝5，则直线l的斜率为(　　)A．3 B．1 C．2 D.eq \f(1,2)B　[由于R(2,1)为AB中点，设A(xA，yA)，B(xB，yB)．根据抛物线的定义|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝2×2＋p＝5，解得p＝1，抛物线方程为y2＝2x.yeq \o\al(2,A)＝2xA，yeq \o\al(2,B)＝2xB，两式相减并化简得eq \f(yB－yA,xB－xA)＝eq \f(2,yA＋yB)＝eq \f(2,2×1)＝1，即直线l的斜率为1.故选B.]3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|＝3，则直线AF的斜率为 ．－2eq \r(2)　[∵双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y2＝8x.∵|AF|＝3，∴xA＋2＝3，得xA＝1，代入抛物线方程可得yA＝±2eq \r(2).∵点A在第一象限，∴A(1,2eq \r(2))，∴直线AF的斜率为eq \f(2\r(2),1－2)＝－2eq \r(2).]4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．[解]　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－eq \f(p,2)，于是4＋eq \f(p,2)＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴kFA＝eq \f(4,3)，∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq \f(3,4).∴FA的方程为y＝eq \f(4,3)(x－1)， ①MN的方程为y－2＝－eq \f(3,4)x， ②联立①②，解得x＝eq \f(8,5)，y＝eq \f(4,5)，∴点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).1．已知直线l：y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)A.eq \f(1,3)　　　　B.eq \f(\r(2),3)　　　　C.eq \f(2,3)　　　　D.eq \f(2\r(2),3)D　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))消去y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.Δ＝(4k2－8)2－16k4＞0，解得－1＜k＜1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．x1＋x2＝eq \f(8,k2)－4.①　x1x2＝4.②　根据抛物线的定义及|FA|＝2|FB|，得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2x2＋2，③且x1＞0，x2＞0，由②③解得x1＝4，x2＝1，代入①得k2＝eq \f(8,9)，k＞0，∴k＝eq \f(2\r(2),3).故选D.]2．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．[解]　(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2，∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋eq \f(p,2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(p,2)，,x2＝2py))得x2－2kpx－p2＝0.∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.其中Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),2p)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),2p))).∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，k2p＋\f(p,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，－\f(p,2))).∴kAN＝eq \f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－kp)＝eq \f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－\f(x1＋x2,2))＝eq \f(\f(x\o\al(2,1)＋p2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq \f(\f(x\o\al(2,1)－x1x2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq \f(x1,p).又x2＝2py，∴y′＝eq \f(x,p).∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝eq \f(x1,p).∴直线AN与抛物线相切．