高中数学高考课后限时集训57 曲线与方程 作业

　　　　　　　曲线与方程

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一、选择题

1．若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是(　　)

A．任意实数a方程表示椭圆

B．存在实数a方程表示椭圆

C．任意实数a方程表示双曲线

D．存在实数a方程表示抛物线

B　[当a＞0且a≠1时，该方程表示椭圆；当a＜0时，该方程表示双曲线；当a＝1时，该方程表示圆．故选B.]

2．(2019·深圳调研)已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)

A．x2＝4y　 B．y2＝3x

C．x2＝2y   D．y2＝4x

A　[设点P(x，y)，则Q(x，－1)．

∵·＝·，∴(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.]

3．已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足＝2，·＝0，则点G的轨迹方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.－＝1   D.－＝1

A　[由＝2，·＝0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝2，∴b2＝4，∴点G的轨迹方程为＋＝1，故选A.]

4．在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程．

下表给出了一些条件及方程：

则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为(　　)

A．C3，C1，C2   B．C1，C2，C3

C．C3，C2，C1   D．C1，C3，C2

A　[①△ABC的周长为10，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，又|BC|＝4，所以|AB|＋|AC|＝6>|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；②ABC的面积为10，所以|BC|·|y|＝10，即|y|＝5，与C1对应；③因为∠A＝90°，所以·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－4＝0，与C2对应．故选A.]

5．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

A　[设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，

由＝＋，得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)，

则 解得

由|AB|＝5，得＋＝25，

化简得＋＝1.]

二、填空题

6．已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________．

(x－10)2＋y2＝36(y≠0)　[设A(x，y)，

则D.

∴|CD|＝＝3，

化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，

∴A不能落在x轴上，

即y≠0.]

7．一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P在线段AB上且＝2，则点P的轨迹方程是________．

4x2＋y2＝16　[设P(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，

则a2＋b2＝36.因为＝2，

所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，

所以即代入a2＋b2＝36，得9x2＋y2＝36，即4x2＋y2＝16.]

8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．

＋＝1(y≠0)　[设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．]

三、解答题

9．已知动点M到定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4.

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．

[解]　(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆．

由c＝2，a＝2，得b＝2.

故动点M的轨迹C的方程为＋＝1.

(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，

由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.

Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)＞0，

则k＞0或k＜－.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

从而k1＋k2＝＋

＝

＝2k－(k－4)＝4.

当直线l的斜率不存在时，得A，

B，所以k1＋k2＝4.

综上，恒有k1＋k2＝4.

10.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足＝.

(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)过点N(3，0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．

[解]　(1)设M(x，y)，则D(x，0)，

由＝知，P(x，2y)，

∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4，

故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1，且轨迹C为椭圆．

(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，

设l：y＝k(x－3)，代入＋y2＝1，

得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，(*)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，

∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)

＝k(x1＋x2)－6k＝－6k＝－.

∵四边形OAEB为平行四边形，

∴＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)

＝，

又＝(x，y)，∴

消去k，得x2＋4y2－6x＝0，

由(*)中Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)>0，

得k2<，∴0<x<.

∴顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6x＝0.

1．在△ABC中，已知A(－1，0)，C(1，0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1(x≠±)

C.＋＝1   D.＋＝1(x≠±2)

D　[∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，

∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.

∴点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆，又B是三角形的顶点，A、B、C三点不能共线，故所求的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．]

2．已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)

A．双曲线　   B．椭圆

C．圆　   D．抛物线

D　[连接MF，由中垂线性质知|MB|＝|MF|，

即M到定点F的距离与它到直线x＝－1距离相等．

∴点M的轨迹是抛物线，∴D正确．]

3．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点(，0)的动直线交抛物线于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，则点M的轨迹方程为________．

y2＝2x－1　[设直线PQ的方程为x＝ty＋，与y2＝4x联立，得y2－4ty－2＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则

y1＋y2＝4t，y1y2＝－2，x1＋x2＝4t2＋1，

∴M(2t2＋，2t)．

设M(x，y)，则由消去t，得点M的轨迹方程为y2＝2x－1.]

4．已知定圆M：(x－3)2＋y2＝16和圆M所在平面内一定点A，点P是圆M上一动点，线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q.

(1)讨论Q点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：

①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．

(2)若定点A(5，0)，试求△QMA的面积的最大值．

[解]　(1)由题意知|QP|＝|QA|，

①当A在圆M外时，|MA|>4，

且||QA|－|QM||＝|PM|＝4<|MA|，

所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，见图(1)．

②当A在圆M内，且与M不重合时，|MA|<4，且|QA|＋|QM|＝|MP|＝4>|MA|，

所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，见图(2)．

③当A在圆M上时，l过定点M，l与PM的交点Q就是点M，所以点Q的轨迹就是一个点，见图(3)．

④当A与M重合时，l与PM的交点Q就是PM的中点，所以点Q的轨迹就是圆，见图(4)．

综上所述，Q点的轨迹可能是①②④⑥四种．

(2)因为A(5，0)在圆M内，

由(1)知，点Q的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，

且|MA|＝2＝2c，|MP|＝4＝2a，

所以b＝，

由椭圆的几何性质可知，Q为短轴端点时，S△MQA最大，

所以S△MQA的最大值为·2c·b＝.

1．(2019·安庆模拟)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)

A．直线   B．抛物线

C．椭圆   D．双曲线的一支

C　[可构造如图所示的圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.]

2．(2019·济南模拟)曲线C是平面内与两个定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离的积等于常数a2(a2>4)的点的轨迹．给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.

其中，所有正确结论的序号是________．

②③　[因为原点O到两个定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离的积是4，又a2>4，所以曲线C不过原点，即①错误；设动点P在曲线C上，因为F1(－2，0)，F2(2，0)关于原点对称，所以|PF1|·|PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；

因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，

即△F1PF2的面积不大于a2，即③正确．]