高中数学高考课后限时集训68 古典概型与几何概型 作业

　　　　　　　古典概型与几何概型建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.B　[设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.]2．(2019·长沙雅礼中学月考)“上医医国”出自《国语·晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是(　　)A.  B.  C.  D.A　[幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n＝3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率P＝.故选A.]3．(2019·江淮十校模拟)《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为(　　)A.  B.  C.  D.C　[抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为.故选C.]4．将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(　　)A.  B.  C.  D.A　[一个骰子连续掷3次，落地时向上的点数可能出现的组合数为63＝216种．落地时向上的点数依次成等差数列，当向上点数若不同，则为(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，4，5)，(4，5，6)，共有2×6＝12种情况；当向上点数相同，共有6种情况．故落地时向上的点数依次成等差数列的概率为＝.]5.(2019·济南模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形．现从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　)A.  B.  C.  D.C　[设大正方形的面积为4S，则5号板与7号板的面积之和为S，所以从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是＝.]二、填空题6．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．　[由题意得该圆柱的体积V＝π×12×2＝2π.圆柱内满足点P到点O的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V1＝ × π×13＝π，所以所求概率P＝＝.]7．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．　[从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝10，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件个数：m＝3，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝1－＝1－＝.]8．如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．0．3　[依题意，记题中被污损的数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，解得x≥7，即此时x的可能取值是7，8，9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝＝0.3.]三、解答题9．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．[解]　(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率P(M)＝.10．(2019·成都七中模拟)某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．(1)求图中m的值；(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；(3)在[450，500)，[500，550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．[解]　(1)依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50×(m＋0.0040＋0.0050＋0.0066＋0.0016＋0.0008)＝1，解得m＝0.0020.(2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t.因为前2组的频率之和为(0.0020＋0.0040)×50＝0.3<0.5，前3组的频率之和为(0.0020＋0.0040＋0.0050)×50＝0.55>0.5，所以350<t<400，由0.3＋0.0050×(t－350)＝0.5，得t＝390.所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．(3)由题意，可得在[450，500)内抽取6×＝4人，分别记为a，b，c，d，在[500，550]内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P＝.1．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sin x≤”发生的概率为(　　)A.  B.  C.  D.D　[在[0，π]上，当x∈∪时，sin x≤，故概率为＝.]2．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是(　　)A.  B.  C.  D.B　[因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是.故选B.]3．(2019·河南洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．　[依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤ ，a2≤b2的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率为，即.]4．已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足a·b<0的概率．[解]　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3个．故满足a·b＝－1的概率为＝.(2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6}．满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6且－2x＋y<0}．画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，故满足a·b<0的概率为.1．如图，B是AC上一点，分别以AB，BC，AC为直径作半圆，从B作BD⊥AC，与半圆相交于D，AC＝6，BD＝2，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是(　　)A.  B.  C.  D.C　[连接AD，CD，可知△ACD是直角三角形，又BD⊥AC，所以BD2＝AB·BC，设AB＝x(0＜x＜6)，则有8＝x(6－x)，得x＝2，所以AB＝2，BC＝4，由此可得图中阴影部分的面积等于－(＋)＝2π，故概率P＝＝.故选C.]2．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________．　　[第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开的概率为＝；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为＝.]