高中数学高考课后限时集训76 不等式的证明 作业

这是一份高中数学高考课后限时集训76 不等式的证明 作业，共3页。试卷主要包含了已知a，b为正实数等内容，欢迎下载使用。
　　　　　　　不等式的证明建议用时：45分钟1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2.(1)求证：a2＋b2≥2；(2)求证：≥1＋.[证明]　(1)根据重要不等式得：a2＋b2≥(a＋b)2＝2.(2)＋＝×＝＋＋≥＋＝，等号成立的条件为：＝，故≥1＋.2．已知a，b为正实数．(1)求证：＋≥a＋b.(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0<x<1)的最小值．[解]　(1)证明：因为＋－(a＋b)＝＝＝.又因为a>0，b>0，所以≥0，当且仅当a＝b时等号成立．所以＋≥a＋b.(2)因为0<x<1，所以1－x>0，由(1)的结论，y＝＋≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．所以函数y＝＋(0<x<1)的最小值为1.3．已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：(1)＋＋ ≤ ；(2)＋＋ ≥ .[证明]　(1)因为由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)·[()2＋()2＋()2]＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时，等号成立，所以＋＋ ≤ .(2)因为由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]·(＋＋) ≥ (··＋·)2＝9(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)，又a＋b＋c＝1，所以6(＋＋) ≥9，所以＋＋ ≥ .4．已知函数f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|的最小值为M.(1)若m，n∈[－M，M]，求证：2|m＋n|≤|4＋mn|；(2)若a，b∈(0，＋∞)，a＋2b＝M，求＋的最小值．[解]　(1)证明：∵f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|≥|2x－3－(2x－1)|＝2，∴M＝2.要证明2|m＋n|≤|4＋mn|，只需证明4(m＋n)2≤(4＋mn)2，∵4(m＋n)2－(4＋mn)2＝4(m2＋2mn＋n2)－(16＋8mn＋m2n2)＝(m2－4)(4－n2)，∵m，n∈[－2，2]，∴m2，n2∈[0，4]，∴(m2－4)(4－n2)≤0，∴4(m＋n)2－(4＋mn)2≤0，∴4(m＋n)2≤(4＋mn)2，可得2|m＋n|≤|4＋mn|.(2)由(1)得，a＋2b＝2，因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋＝(a＋2b)＝≥＝4，当且仅当a＝1，b＝时，等号成立．所以＋的最小值为4.