高中数学高考课后限时集训74 参数方程 作业

　　　　　　　参数方程

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1．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1，0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.

(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；

(2)求直线AM的参数方程．

[解]　(1)由已知，点M的极角为，

且点M的极径等于，

故点M的极坐标为.

(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1，0)．

故直线AM的参数方程为

(t为参数)．

2．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．

(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．

[解]　(1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1.

同理曲线C2的普通方程为＋＝1.

C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

(2)当t＝时，P(－4，4)，又Q(8cos θ，3sin θ)．

故M，

又C3的普通方程为x－2y－7＝0，

则M到直线C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|

＝|3sin θ－4cos θ＋13|

＝|5sin(θ－φ)＋13|.

所以d的最小值为.

3．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N.

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

[解]　(1)由ρsin2θ＝2acos θ，得ρ2sin2θ＝2aρcos θ，

即曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax；

由(t为参数)可知直线l过点(－2，－4)，且倾斜角为，∴直线l的斜率等于1，∴直线l的普通方程为y＋4＝x＋2，即y＝x－2.

(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y2＝2ax得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.

设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)，

∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，

即8(4＋a)2＝5×8(4＋a)．解得a＝1(舍去a＝－4)．

4．(2019·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，将曲线C1：x2＋y2＝1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C2；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ－sin θ)＝6.

(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；

(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离d最大，并求出d的最大值．

[解]　(1)由题意知，曲线C2的方程为()2＋()2＝1，其参数方程为(φ为参数)．直线l的直角坐标方程为2x－y－6＝0.

(2)设P(cos φ，2sin φ)，φ∈[0，2π)，则点P到直线l的距离d＝＝，

所以当sin(－φ)＝－1时，d取得最大值2，

因为φ∈[0，2π)，所以φ＝，则点P的坐标是(－，1)．