高中数学高考课后限时集训70 不等式的证明 作业

这是一份高中数学高考课后限时集训70 不等式的证明 作业，共3页。试卷主要包含了已知函数f＝|x＋m|，已知函数f＝|x＋1|.等内容，欢迎下载使用。
不等式的证明建议用时：45分钟1．(1)已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，证明＋＋≥9；(2)已知a，b，c均为正实数，且abc＝1，证明＋＋≤＋＋.[证明]　(1)因为a＋b＋c＝1，所以＋＋＝＋＋＝＋＋1＋＋＋1＋＋＋1＝＋＋＋＋＋＋3≥9，当a＝b＝c时等号成立．(2)因为＋＋＝＋＋＋＋＋≥×2＋2＋2.又因为abc＝1，所以＝c，＝b，＝a，∴＋＋≥＋＋.当a＝b＝c时等号成立，即原不等式成立．2．已知函数f(x)＝|x＋m|(m≥1)．(1)当m＝2时，求不等式＞－1的解集；(2)设g(x)＝f，记p(x)＝f(x)＋g(x)，证明：p(x)≥3.[解]　(1)∵m＝2，∴f(x)＝|x＋2|，∴不等式＞－1，即为＞－1，即＞0，上述不等式同解于，即x＞0，①或即－2＜x＜－，②或即x≤－2，③由①②③得不等式的解集为.(2)证明：∵g(x)＝f＝，∴p(x)＝|x＋m|＋，∵|x＋m|＋≥，∴p(x)≥，∵m≥1，∴p(x)≥2m＋，∵h(m)＝2m＋在区间[1，＋∞)上是增函数，∴h(m)≥3，∴p(x)≥3.3．已知函数f(x)＝|x＋1|.(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；(2)设a，b∈M，求证：f(ab)＞f(a)－f(－b)．[解]　(1)由题意，|x＋1|＜|2x＋1|－1，①当x≤－1时，不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；②当－1＜x＜－时，不等式可化为x＋1＜－2x－2，此时不等式无解；③当x≥－时，不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，所以要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|＞|a＋b|，即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．4．(2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.[解]　(1)因为[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)·(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)·(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，所以由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.