高中数学高考课后限时集训73 坐标系 作业

　　　　　　　坐标系

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1．(2019·江苏高考)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为ρsin＝3.

(1)求A，B两点间的距离；

(2)求点B到直线l的距离．

[解]　(1)设极点为O.在△OAB中，A(3，)，B(，)，由余弦定理，得|AB|＝＝.

(2)因为直线l的方程为ρsin(θ＋)＝3，

则直线l过点(3，)，倾斜角为.

又B(，)，所以点B到直线l的距离为

(3－)×sin(－)＝2.

2．在直角坐标系xOy中，圆C的圆心为(0，)，半径为，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)设M，N是圆C上两个动点，且满足∠MON＝，求|OM|＋|ON|的最小值．

[解]　(1)∵圆C的圆心为(0，)，半径为，∴圆C的直角坐标方程为x2＋(y－)2＝，即x2＋y2－y＝0，∴圆C的极坐标方程为ρ2＝ρsin θ，即ρ＝sin θ.

(2)设M(ρ1，θ)，N(ρ2，θ＋)，则|OM|＋|ON|＝ρ1＋ρ2＝sinθ＋sin(θ＋)＝sinθ＋cos θ＝sin(θ＋)．由题意知解得0≤θ≤，

∴≤θ＋≤，∴≤sin(θ＋)≤1，

即|OM|＋|ON|的最小值为.

3．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.

(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

[解]　(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，

ρ0＝4sin ＝2.

由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.

设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点，连接OQ，

在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2，

经检验，点P在曲线ρcos＝2上．

所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.

(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.

因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.

所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.

4．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l1与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.