高中数学高考课后限时集训58 圆锥曲线中的定点、定值问题 作业

圆锥曲线中的定点、定值问题

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1．(2019·大连模拟)已知动圆E经过定点D(1，0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设过点P(1，2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．

[解]　(1)由已知，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x.

(2)证明：由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.

直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，

由

得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0，

Δ＝16(k－1)2>0，

已知此方程一个根为1，

∴x1×1＝＝，

即x1＝，

同理x2＝＝，

∴x1＋x2＝，x1－x2＝－＝－，

∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]

＝k(x1＋x2)－2k

＝k·－2k＝，

∴kAB＝＝＝－1，

∴直线AB的斜率为定值－1.

2．(2019·广州模拟)已知椭圆C：＋＝1若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

[解]　由 ，消去y，并整理得：(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，

由Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，

得3＋4k2－m2>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)

∴x1＋x2＝－，x1·x2＝

∴y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，且·＝0，即y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，

所以＋＋＋4＝0，

整理得：7m2＋16mk＋4k2＝0，

解得m1＝－2k，m2＝－，且满足3＋4k2－m2>0.

当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；

当m＝－时，l：y＝k(x－)，直线过定点(，0)．

综上可知，直线l过定点，定点坐标为(，0)．

3．(2019·南昌模拟)已知圆O：x2＋y2＝4，点F(1，0)，P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点.问：在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO？若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)设PF的中点为S，切点为T，连接OS，ST，则|OS|＋|SF|＝|OT|＝2.

取F′(－1，0)，连接F′P(图略)，

则|F′P|＋|FP|＝2(|OS|＋|SF|)＝4.

所以点P的轨迹是以F′，F为焦点、长轴长为4的椭圆，其中a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3.

所以曲线C的方程为＋＝1.

(2)假设存在满足题意的定点Q.设Q(0，m)，当直线的斜率存在时直线MN的方程为y＝kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

联立得方程组

消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋4kx－11＝0.

由题意知Δ>0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.

由∠MQO＝∠NQO，得直线MQ与直线NQ的斜率之和为0，

∴＋＝＋

＝＝0，

∴2kx1x2＋(x1＋x2)

＝2k·＋·＝＝0，

当k≠0时，m＝6，所以存在定点(0，6)，使得∠MQO＝∠NQO；当k＝0时，定点(0，6)也符合题意．

易知直线MN的斜率不存在时，定点Q(0，6)也符合题意．

∴存在符合题意的定点Q，且定点Q的坐标为(0，6)．

综上，存在定点(0，6)使得∠MQO＝∠NQO.