高中数学高考课时跟踪检测（二十二） 三角恒等变换 作业

这是一份高中数学高考课时跟踪检测（二十二） 三角恒等变换 作业，共8页。试卷主要包含了基础练——练手感熟练度，综合练——练思维敏锐度等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测（二十二）  三角恒等变换一、基础练——练手感熟练度1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)A．1　　　　　　　　　　 B．C.  D．－解析：选B　sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.2．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)A.  B．C.  D．解析：选B　由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α.∵α∈，∴cos α≠0，sin α>0，∴2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝.故选B.3．(2021·苏州模拟)若cos＝－，则cos＋cos α＝(　　)A．－  B．±C．－1  D．±1解析：选C　cos＋cos α＝cos α＋sin α＋cos α＝cos α＋sin α＝        cos＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋tan 18°tan 12°＝(　　)A.  B．C.  D．解析：选D　∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝＝，∴tan 18°＋tan 12°＝(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝.5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)A．－  B．C．－  D．解析：选C　由3cos 2α＝sin，可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.6．已知sin＝，α∈，则cos的值为________．解析：由已知得cos α＝，sin α＝－，所以cos＝cos α＋sin α＝－.答案：－二、综合练——练思维敏锐度1．已知sin＝cos，则tan α＝(　　)A．1   B．－1C.  D．0解析：选B　∵sin＝cos，∴cos α－sin α＝cos α－sin α，即sin α＝cos α，∴tan α＝＝－1.2．(多选)下列各式中，值为的是(　　)A.   B．tan 15°cos215°C.cos2－sin2  D． 解析：选ACD　∵＝tan 45°＝，tan 15°·cos215°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，cos2－sin2＝cos ＝，＝sin 30°＝，∴选A、C、D.　3．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为(　　)A．5   B．－1C．6  D．解析：选A　由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝， 所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，即＝5.故选A.4．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)A.  B．C.  D．解析：选B　∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝.故选B.5．(2021·辽宁八校联考)已知cos＝3sin，则tan＝(　　)A．4－2   B．2－4C．4－4  D．4－4解析：选B　由题意可得－sin α＝－3sin，即sin＝3sin，sinα＋·cos －cossin ＝3sincos ＋3cossin ，整理可得tan＝－2tan ＝－2tan＝－2×＝2－4.故选B.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝.根据这些信息，可得sin 234°＝(　　)A.  B．－C．－  D．－解析：选C　由图可知，∠ACB＝72°，且cos 72°＝＝，∴cos 144°＝2cos272°－1＝－.则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－.7．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝(　　)A.  B．C．－  D．－解析：选C　利用辅助角公式可得f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.当函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值时，θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)，则cos θ＝cos＝－sin φ＝－(k∈Z)．故选C.8．设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝(　　)A.  B．C．－  D．－解析：选B　因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin 45°]＝×－×＋×＝.故选B.9．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)A.  B．C.或  D．或解析：选A　∵α∈，∴2α∈，∵sin 2α＝>0，∴2α∈，∴α∈且cos 2α＝－.又∵sin(β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝×－×＝，又∵α＋β∈，∴α＋β＝.10．化简：－＝________.解析：－＝＝＝＝4.答案：411．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.解析：∵α∈，∴－α∈，又cos＝，∴sin＝－.∵sin＝－，∴sin＝.又∵β∈，∴＋β∈，∴cos＝，∴cos(α＋β)＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－.答案：－12．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________.解析：依题意有∴tan(α＋β)＝＝＝1.又∴tan α<0且tan β<0，∴－<α<0且－<β<0，即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－.答案：－13．已知A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，则cos＝________.解析：因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，所以<A＋B<π，<B＋<，所以sin(A＋B)＝＝，sin＝ ＝.所以cos＝cos＝－ ×＋×＝.答案：14．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．解：(1)由f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1，得f(x)＝(2sin xcos x)－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，∴函数f(x)的最小正周期为π.易知f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)＝－1，f＝2，f＝－1，∴函数f(x)在上的最大值为2，最小值为－1.(2)∵2sin＝，∴sin＝.又x0∈，∴2x0－∈，∴cos＝.∴cos 2x0＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝. 15．持续高温使某市多地出现干旱，城市用水紧张，为了宣传节约用水，某人准备在一片扇形区域(如图1)上按照图2的方式放置一块矩形ABCD区域宣传节约用水，其中顶点B，C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在上，∠MON＝，ON＝OM＝10 m，设∠DON＝θ，矩形ABCD的面积为S.(1)用含θ的式子表示DC，OB的长；(2)若此人布置1 m2的宣传区域需要花费40元，试将S表示为θ的函数，并求布置此矩形宣传栏最多要花费多少元钱？解：(1)在△ODC中，DC＝10sin θ，在△OAB中，OB＝＝10sin θ.(2)在△ODC中OC＝10cos θ，从而S＝BC×CD＝100(cos θsin θ－sin2θ)＝100＝100＝100sin－50，0<θ<，当2θ＋＝，即θ＝时，S取得最大值100－50≈13.4，所以布置此矩形宣传栏最多要花费13.4×40＝536元．