高中数学高考课时跟踪检测（二十五） 平面向量的概念及线性运算 作业

课时跟踪检测（二十五）平面向量的概念及线性运算

一、基础练——练手感熟练度

1．(多选)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使＝成立的充要条件是(　　)

A．a∥b   B．θ＝0

C．a＝2b  D．θ＝π

解析：选BC　＝等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故B正确．对于选项C，a＝2b，则a与b同向共线，故C正确．

2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)

A．   B．

C.   D．

解析：选A　由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.

3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)

A．a与λa的方向相反   B．a与λ2a的方向相同

C．|－λa|≥|a|  D．|－λa|≥|λ|·a

解析：选B　对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．

4.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)

A．0   B．

C．   D．

解析：选D　由题图知＋＋＝＋＋＝＋＝.

5．在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝(　　)

A．－   B．－1

C.  D．－

解析：选D　如图，延长BO交AC于点M，∵点O为△ABC的重心，∴M是AC的中点，

∴＝＝

＝＋＝－＋(－)

＝－＋，

又＝λ＋μ，∴λ＝－，μ＝，

∴λ－2μ＝－，故选D.

二、综合练——练思维敏锐度

1．已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为(　　)

A．5   B．3

C.  D．2

解析：选C　∵a，b是非零向量，且互相垂直，

∴4a＋5b≠0，m≠0.

∵m，n共线，∴n＝μm，即2a＋λb＝μ(4a＋5b)，

∴解得λ＝.

2．设平面向量a，b不共线，若＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　)

A．A，B，D三点共线   B．A，B，C三点共线

C．B，C，D三点共线  D．A，C，D三点共线

解析：选A　∵＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＋＝(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2，∴与共线，即A，B，D三点共线．

3．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的反向延长线上

C．点P在线段AB的延长线上

D．点P不在直线AB上

解析：选B　因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上．

4．(多选)在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC的中点，P是 AE与BF的交点，则有(　　)

A．＝＋    B．＝2

C．＝＋   D．＝＋

解析：选AC　如图，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，

＝＋＝＋＝＋(－)＝(＋)，A是正确的；因为EF是中位线，所以＝2，B是错误的；设AB的中点为G，则根据三角形重心性质知，CP＝2PG，所以＝＝×         ＝，所以C是正确的，D错误．

5．设向量a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)

A．－2   B．－1

C．1  D．2

解析：选B　因为＝a＋b，＝a－2b，所以＝＋＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以，共线．设＝λ，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.

6．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(－2,1)，＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为(　　)

A．－2  B．

C．1  D．－1

解析：选ABD　若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，故向量，不共线．由于向量＝(1，－3)，＝(－2,1)，＝(t＋3，t－8)，故＝－＝(－3,4)，＝－＝(t＋5，t－9)，若A，B，C三点不共线，则－3(t－9)－4(t＋5)≠0，∴t≠1.

7．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)

A．30°   B．45°

C．60°  D．90°

解析：选A　由＋＋＝0，得＋＝，由O是△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°，选A.

8．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)

A．1   B．－

C．1或－  D．－1或－

解析：选B　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，

于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，

整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.

由于a，b不共线，所以有

整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.

又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.

9．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝ S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.

10.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量相等的向量有________个．

解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，，，共3个．

答案：3

11.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为________．

解析：易知x，y均为正数，

设＝m＋n，＝λ＋μ，

∵B，C，D共线，∴m＋n＝1，同理，λ＋μ＝1.

∵＋＝x＋y＝(m＋λ)＋(n＋μ)，

∴x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2.

∴＋＝(x＋y)＝≥＝，当且仅当y＝2x时等号成立，则＋的最小值为.

答案：

12．在△ABC中，P为BC的中点，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＋a＋b＝0，则△ABC的形状为________．

解析：∵在△ABC中，P为BC的中点，∴＝－ (＋)，

又∵c＋a＋b＝0，＝＝(－)，

∴c－a(＋)＋b(－)＝0，

∴－＝0，

即＝，

又， 不共线，∴解得a＝b＝c，

∴△ABC为等边三角形．

答案：等边三角形

13．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．

解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，∴＝2.

∵点E在线段CD上，

∴＝λ (0≤λ≤1)．

∵＝＋，

又＝＋μ＝＋2μ＝＋，

∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，

即μ的取值范围是.

答案：

14．如图，O，A，B三点不共线，＝2，＝3，设＝a，＝b.

(1)试用a，b表示向量；

(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明：L，M，N三点共线．

解：(1)∵B，E，C三点共线，

∴＝x＋(1－x)＝2xa＋(1－x)b，①

同理，∵A，E，D三点共线，可得＝ya＋3(1－y)b，②

由①②，得解得x＝，y＝，

∴＝a＋b.

(2)证明：∵＝，＝＝，

＝(＋)＝，

∴＝－＝，＝－＝，

∴＝6，

又∵与有公共点M，∴L，M，N三点共线．

15．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．

解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，

整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.

因为a，b不共线，所以有解得t＝.

故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．