高中数学高考命题卷（06） 决胜2021新高考数学命题卷（新高考地区专用）（解析版）

这是一份高中数学高考命题卷（06） 决胜2021新高考数学命题卷（新高考地区专用）（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
决胜2021新高考数学测试数学 命题卷（06）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，，因此，复数在复平面上的对应点位于第四象限.故选：D.2．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题得，所以.故选：B3．已知直线，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵直线，当“”时，直线，不满足，当“”时，直线，不满足，∴当时，则，解得或.而由，解得，所以由“”能推出“”，由“”不能推出“”，所以“”是“”充分不必要条件.故选：A.4．已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】图象关于原点对称，为奇函数，CD中定义域是，不合，排除，AB都是奇函数，当时，A中函数值为负，B中函数值为正，排除B．故选：A．5．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】观察这个图可知:大正方形的边长为2，总面积为4，由直角三角形中较小的锐角，可知直角三角两直角边长为1，，所以阴影区域的边长为，面积为，故飞镖落在阴影区域的概率为.故选：A6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：，此时，即：同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：此时所以故选C7．已知为等边三角形，，设点，满足，，与交于点，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以为的一个靠近的三等分点，又因为，所以为的中点，过作交于点，如下图所示：因为且，所以，所以，所以，所以，故选：D.8．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得：，即∴在上恒成立；∵在上单调递增，∴在上恒成立；∴在上恒成立，构造函数，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴，∴，解得.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等比数列的公比为，且，则下列选项正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因为等比数列的公比为，且所以，，，，因为，故A正确；因为，当时式子为负数，故B错误；因为，故C正确；因为，存在使得，故D错误.故选：AC10．已知向量，，则（    ）A．若与垂直，则 B．若，则的值为C．若，则 D．若，则与的夹角为【答案】BC【解析】对于选项A：由，可得，解得，故A错误，对于选项B：由，可得，解得，∴，∴，故B正确；对于选项C：若，则，则，故C正确：若，对于选项D：：设与的夹角为，则，故D错误．故选:BC．11．若函数的值域为，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】时，，，单调递增，∴，A正确；时，，，单调递减，∴，∵值域是，∴，B正确；设，则，当时，．单调递增，∴，即，又，而在递减，∴，C错；设，则，令，则在时恒成立，在上单调递增，因此时，，，∴是减函数，又，∴，即，，D正确．故选：ABD．12．下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（    ）A．设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线B．设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．双曲线与椭圆有相同的焦点【答案】CD【解析】对于A选项，若动点的轨迹为双曲线，则，即，但与的大小关系未知，A选项错误；对于B选项，由可得，可得，所以，点为线段的中点，如下图所示：当为圆的一条直径时，与重合；当不是圆的直径时，由垂径定理可得，设的中点为，由直角三角形的几何性质可得（定值），所以，点的轨迹为圆，B选项错误；对于C选项，解方程，可得，，所以，方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确；对于D选项，双曲线的焦距为，焦点坐标为，椭圆的焦距为，焦点坐标为，D选项正确.故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，，分别为三个内角，，的对边，，，若是边的中点，，则______.【答案】1【解析】由，，得.由正弦定理，得，即，所以，即.又，所以，所以.如图所示，延长至使，连接，，易知四边形为平行四边形，所以.由余弦定理，得，即，整理得：，解得或（舍去）.故答案为：.14．已知点，抛物线：（）的准线为，点在上，作于点，，，则___________.【答案】【解析】设抛物线的焦点为，，由抛物线的定义可知，，因为，所以，不妨设点在第一象限，过点作轴于点，则为的中点，，因为，所以，所以，，所以点的坐标为，因为点在抛物线上，所以，化简得，解得或(舍去)，所以.故答案为：.15．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，给出下列函数：①；②③；④（）；⑤；其中为“不动点”函数的是_________.（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】①②③④【解析】①，得或满足条件，故①满足题意；②，当时，或；当时，或，即；满足条件，故②满足题意；③，令，易知为上的增函数，又，由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点.故③满足题意；④（），，令，又，则，易知为上的增函数，又，由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点.故④满足题意；⑤无实数解，故⑤满足题意；故答案为：①②③④.16．已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，平面平面ABC.，M为棱PC上一点，且，过M作三棱锥外接球的截面，则截面面积最小值为____________.【答案】【解析】在中，，，，所以为直角三角形，该三角形的外接圆圆心为中点，连接，，因为面面CAB，所以球心在上，又因为为等边三角形，故球心O在上靠近的三等分点处，因为M为PC的三等分点，故，所以，因为，所以外接球半径，过点M的所有截面圆中，截面与MO垂直的截面圆为最小截面圆，其半径，所以截面圆面积.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①；②，；③，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加解答.问题：设数列的前项和为，___________，若，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.【答案】条件选择见解析；前项和为【解析】若选①，当时，；当时，，又由当满足，所以，所以，则，所以，所以数列的前项和，若选②，，由，即，可得数列是等差数列，设数列的公差为，则，解得，所以，所以，则，所以，所以数列的前项和，若选③，，由，可得，所以，即，又由，所以，所以，所以，则，所以，所以数列的前项和.18．在①：②；③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，___________，___________？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.【答案】答案见解析【解析】选择条件①和②.因为，所以，由余弦定理，得.因为，所以.因为，所以，所以，所以.因为，所以.在中，由正弦定理，得.所以.选择条件①和③.因为，所以.由余弦定理，得.因为，所以.因为，且，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以，可得.所以在中，.选择条件②和③.因为，所以，所以.所以或.因为，，所以或.又因为，且，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以，可得.在中，，所以，，.所以为等腰直角三角形，所以.19．某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布.（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人?（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元?参考数据：若，则.【答案】（1）1.6（万人）；（2）150.8万元.【解析】（1）因得分，所以标准差，所以优秀者得分，由得，，因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为（万人）.（2）设抽奖一次获得的话费为X元，则，所以抽奖一次获得电话费的期望值为，又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，所以抽奖总次数为万次，因此，估计这次活动所需电话费为万元.20．在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，，因为，是半圆的两个三等分点，所以，又，所以，，均为等边三角形，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，平面，平面，所以平面.因为，都是圆柱的母线，所以，又因为平面，平面，所以平面.又平面，，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）连接，因为是圆柱的母线，所以圆柱的底面，因为为圆的直径，所以，所以直线，，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系如图：因为，所以，，，，，，由题知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则：，令，，.∴.所以.由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.21．已知直线：与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线：的焦点.（1）求拋物线的方程；（2）若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，两点（在的两侧），与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由已知得，且为的中点，所以.所以，解得，故抛物线的方程为.（2）证明：联立，解得，，由为的中点得.不妨设，，其中.则，.所以，即为定值.（3）由（2）可知直线的方程为，即，与抛物线联立，消x可得，解得或（舍），所以，即，故点到直线的距离.设过点的抛物线的切线方程为，联立得，由，得，所以切线方程为，令，得，所以要使过点的直线与抛物线有两个交点，，则有，又，所以，即，故的面积的取值范围为.22．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数(其中是的导函数)，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】解：（1）的定义域为，而，令，则①当时，在单调递增；②当，即时在单调递增；③当时，有两根，.所以增区间，；减区间.综上述，当时，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（2），则的定义域为，，若有两个极值点，，且，则方程的判别式，且，得，且.所以设，则在上恒成立，故在单调递减，从而，，所以的取值范围是.