高中数学高考命题卷（09） 决胜2021新高考数学命题卷（新高考地区专用）（解析版）

这是一份高中数学高考命题卷（09） 决胜2021新高考数学命题卷（新高考地区专用）（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
决胜2021新高考数学测试数学 命题卷（09）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，是的子集，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，是的子集，且，如图所示，表示Venn图中的阴影部分，故可知，故选：C.2．若(其中为虚数单位)，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】解析：由可得，所以的的共轭复数，根据复数的几何意义可知，在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D3．如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图.则下列说法不正确的是（    ）A．武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低B．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数C．2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人D．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天【答案】C【解析】由折线图数据分析得知ABD正确，1690-111=1579故C不正确; 故选：C4．已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】且，由题意可知，对任意的，，即，即，，则，，，可得.当时，成立；当时，函数在区间上单调递增，则，此时.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（    ）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长【答案】C【解析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）.故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；春分的晷长为，，秋分的晷长为，，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；小雪的晷长为，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；立春的晷长，立秋的晷长分别为，，，，，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.故选：C.6．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系，因为，，则，，.设，则，，因为，所以，解得，由，得，所以解得，所以.故选：C.7．已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数满足，所以函数关于直线对称，因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减.由对称性可知在上单调递增.因为，即，所以，即，解得.故选：D.8．抛物线：的焦点为，是其上一动点，点，直线与抛物线相交于，两点，下列结论正确的是（    ）A．的最小值是2B．动点到点的距离最小值为3C．存在直线，使得，两点关于直线对称D．与抛物线分别相切于､两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上【答案】A【解析】A选项：对于抛物线：，当时，故点在内部又因为等于到准线的距离，故作到准线的垂线为， 为垂足，当P与三点共线时，取得最小值为，故A正确；B选项：设，则 当时，B错；C选项：设，与交点为 因为，两点关于直线对称，令方程为 因为在抛物线上，联立抛物线得，有两解故，得由于， 所以 代入得 ，又因为，故无解，C错；D选项：设， 由于得，所以因为均为切线，设斜率，则方程为，化简得，方程为，化简得因为与交点为 所以，则方程为，由于直线过定点，所以，即，又因为准线方程为，所以点不在抛物线的准线上，D错故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（    ）A．设，则“”是“且”的必要不充分条件B．是“”的充要条件C．“”是“”成立的充要条件D．设，则 “”是“”的充分而不必要条件【答案】AD【解析】对于A，当且时，可推出且时，即成立，反之，当时，例满足条件，即不能推出且，故是且的必要不充分条件，故A正确；对于B，由可得，反之，不一定得，如也满足，故是的充分不必要条件，故B错误；对于C，当时，满足，但，反之，若，则，故是成立的必要不充分条件，故C错误； 对于D，由，得，故，反之，由，得，推不出，故是的充分而不必要条件，故D正确.故选：AD10．已知将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，且的图像关于轴对称，函数在上至多存在两个极大值点，则下列说法正确的是（    ）A． B．在上单调递增C． D．的图像关于直线对称【答案】AD【解析】将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，因为的图像关于轴对称，所以，解得.又，所以.当时，，在上只有一个极大值点，满足题意；当时，，在上极大值点的个数大于2，所以当时，在上极大值点的个数大于2，所以，故A正确，C错误；又由，当时，即，解得，所以的图像关于直线对称，D正确；当时，，此时是单调递减的，B错误.故选：AD.11．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，短轴长为2，点，在上且，直线与交于另一个点，若，则下列说法正确的是（    ）A．为等腰三角形B．椭圆的离心率为C．内切圆的半径为D．面积的最大值为【答案】BCD【解析】由题意知，所以点，，在以为圆心，为直径的圆上，所以.设，由于，所以，，故不是等腰三角形，故A错误.根据椭圆的定义可知，，所以，所以，则.又，所以为等腰直角三角形，可得.由题意知，所以，，所以椭圆的标准方程为，离心率为，故B正确.易知的面积，设的内切圆半径为，则，即，所以，故C正确.不妨令，又，所以直线的方程为，设，则点到直线的距离，其中，所以，因为，所以面积的最大值为，故D正确.故选：BCD12．已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（    ）A．若是线段的中点，则平面平面B．若在线段上，则与所成角的取值范围为C．若平面，则点的轨迹的长度为D．若平面，则线段长度的最小值为【答案】AC【解析】对于A，如下图，，分别是线段，的中点，故，则，，所以，易知平面，所以，所以平面，从而平面平面，故A正确.对于B，正方体中，，所以与所成的角为与所成的角，连接，，则为正三角形，所以与所成角的取值范围为，故B错误.对于C，如下图，设平面与直线交于点，连接，，则为的中点，分别取，的中点，，连接，，，易知，所以平面.同理可得平面，所以平面平面，由此结合平面，可得直线平面，所以点的轨迹是线段，易得，故C正确.对于D，如下图，取的中点，的中点，的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面，连接，，则，又，所以，所以平面，连接，，易知，又，所以，故，，，四点共面，所以平面平面.因为平面，所以平面，所以点的轨迹为线段.由知，，，连接，，在中，，所以，所以，得为直角，故线段长度的最小值为，故D错误.故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知多项式，则___________.【答案】31【解析】令得，令得，所以.故答案为：3114．已知等腰梯形中，，，若梯形上底上存在点，使得，则该梯形周长的最大值为________.【答案】【解析】建立如图所示的平面直角坐标系：设，则∵四边形是等腰梯形，且∴，，∴，，，假设存在点在上底上使得∴可设，其中∵∴整理得：上底上存在点使得，等价于方程在上有解令，，又因为对称轴为∴解得∴又∵梯形的周长为，在单调递增∴当时，有.故答案为：.15．如图，在梯形中，，，，，.取的中点，将沿折起，使二面角为，则四棱锥的体积为___________.【答案】【解析】解：梯形的面积，，所以，如图，取的中点，连接，，∴，，∴为二面角的平面角，∴，过点作的垂线，交的延长线于点，则面，因为，所以，所以所以.故答案为：16．已知函数，，若不等式有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围为_________.【答案】【解析】由不等式，可得，即有且仅有一个整数解，令，则，显然，则时，，所以单调递增，当时，，故单调递减，所以函数在时取得最大值，作函数的大致图象如下，由及函数图象可知，要使，有且仅有一个整数解，则需，即，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在① ，，② ，，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知等差数列的前项和为且___________.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【解析】解：（1）方案一：选条件①.设等差数列的公差为.因为，，所以,解得所以.方案二：选条件②.设等差数列的公差为.因为，，所以,解得所以.方案三：选条件③.设等差数列的公差为，所以.因为，，所以，，所以，所以.（2）由（1）知，所以.18．如图，在四边形中，，，.（1）求；（2）若，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）12【解析】（1）在中，，利用正弦定理得：，又为钝角，为锐角，（2）在中，由余弦定理得解得：或（舍去）在中，，设由余弦定理得，即整理得：，又利用基本不等式得：，即，即，当且仅当时，等号成立，即，所以所以周长的最大值为1219．已知，如图四棱锥（1）中，，为平行四边形，，平面，，分别是，中点，点在棱上.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】解：（1）证明：∵平面，∴.又∵，且为平行四边形，，∴为等边三角形，又∵为中点，∴，又∵，∴，∵，∴平面，∴平面平面.（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设，则.设平面即平面的法向量为，，，由，，可取，设平面的法向量为，，，由，，可取.，解得.，，设与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为20．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式.为调硏新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：性别科目男生女生合计物理300  历史 150 合计400 800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）表格答案见解析，有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】（1）性别科目男生女生合计物理300250550历史100150250合计400400800因为，所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.随机变量X的所有可能取值为0，1，2.所以，，.所以X的分布列为X012P所以.答：x的数学期望为.21．设为坐标原点，已知椭圆的左，右焦点分别为，，点为直线上一点，是底角为的等腰三角形.（1）求椭圆的离心率；（2）若，设不与轴重合的直线过椭圆的右焦点，与椭圆相交于､两点，与圆相交于､两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】设直线与x轴交于点Q，由是底角为的等腰三角形， ，，在直角中，，，，利用余弦定义可知，解得：所以椭圆的离心率为（2）由（1）知，，且，则，故，所以椭圆的方程为：设不与轴重合的直线的方程为：，设点联立，化简整理得其中，，利用弦长公式可得：设圆的圆心O到直线的距离为d，则利用圆的弦长公式可得：所以，，所以的取值范围是22．已知函数，.（1）讨论在上的单调性；（2）当时，讨论在上的零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）有3个零点.【解析】（1），，当时，恒成立，则在上单调递减；当时，令，则，令，则，若，即时，在上单调递增；若，即时，在上单调递减；在上单调递增；（2）当时，，令，得，令，则，所以为奇函数，且，所以0是的一个零点，令，则，当，，则在上单调递增，令，则在上单调递增，在上单调递减，令，则恒成立，所以在上单调递减，所以，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，则当时，恒成立，即当时，恒成立，所以当时，恒成立，所以当时，恒成立，当时，，所以在上单调递增，又，，所以在上有且只有一个零点，设该零点为，因为为奇函数，所以在上的零点为，所以在上有3个零点，分别为，0，，所以在上有3个零点.