高中数学高考预测04 三角函数的图象与性质（解析版）

预测04 三角函数的图象与性质

概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
选择题☆☆☆☆
填空题☆☆
考向预测
2021年高考仍将重点考查：
1、 同角三角函数基本关系；
2、 三角函数的图像以及性质；
3、 三角函数的恒等变换；
4、 （多选题）三角函数图像与性质的综合运用
1、同角三角函数基本关系；
2、三角函数的图像与性质；
3、三角函数的恒等变换；



近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.


知识点1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β))
tan(α－β)＝　(T(α－β))
tan(α＋β)＝　(T(α＋β))
知识点2、二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
知识点3、在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如Tα±β可变形为
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
知识点4、函数f(x)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)或f(α) ＝cos(α－φ)(其中tan φ＝).
知识点3、 正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
xx∈R，且x
值域[来源:学§科§网Z§X§X§K]
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在－＋kπ，＋
kπ(k∈Z)上是递
增函数　　　　
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋，0(k∈Z)
对称中心是(k∈Z)
知识点4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ




2π
x
－
－

－

y＝Asin(ωx＋φ)
0
A[来源:Z*xx*k.Com]
0
－A
0
知识点5．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法


(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
①化为特殊角的三角函数值；
②化为正、负相消的项，消去求值；
③化分子、分母出现公约数进行约分求值.
（3）通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
判定三角形形状的2种常用途径

（4）．判定三角形形状的3个注意点
(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；
(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；
（5）与三角形面积有关问题的解题模型


1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：，
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得.
所以函数最小正周期为
故选C．
2、【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=

A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC．
3、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，
由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；
②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；

④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，
因为在上有5个零点，
所以当k=5时，，当k=6时，，解得，
故④正确.
③函数=sin（）的增区间为：，.
取k=0，
当时，单调递增区间为，
当时，单调递增区间为，
综上可得，在单调递增.故③正确.
所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.
4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
5、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；
因为，周期为，排除C；
作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；
作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，
故选A．

图1

图2

图3
6、【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵为奇函数，∴；
又∴，
又，∴，
∴，故选C.
7、【2020年高考全国III卷理数】关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
8、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】为偶函数，故①正确．
当时，，它在区间单调递减，故②错误．
当时，，它有两个零点：；当时，
，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．
当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．
综上所述，①④正确，故选C．
9、【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A．
10、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A．
11、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若α为第四象限角，则
A．cos2α>0 B．cos2α0 D．sin2α