高中数学高考专题01 集合与常用逻辑用语-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（解析版）

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专题01 集合与常用逻辑用语
易错点1 忽略集合中元素的互异性

设集合，若，则实数的值为
A． B．
C． D．或或
【错解】由得或，解得或或，所以选D．
【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当时，A=B={1,1，y}，不满足集合元素的互异性；当时，A=B={1,1,1}也不满足元素的互异性；当时，A=B={1，−1,0}，满足题意．

集合中元素的特性：
（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；
（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素
（3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系

1．集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】当x=2时，x–1=1，x2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x=3时，x–1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误；当x=4时，x–1=3，x2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x=5时，x–1=4，x2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确；故选B．
【答案】B
易错点2 误解集合间的关系致错

已知集合，则下列关于集合A与B的关系正确的是
A． B．
C． D．
【错解】因为，所以，所以，故选B．
【错因分析】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但有时也可能为从属关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么．本题比较特殊，集合B中的元素就是集合，当集合A是集合B的元素时，A与B是从属关系．
【试题解析】因为，所以，则集合是集合B中的元素，所以，故选D．
【参考答案】D

（1）元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.
（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或）；如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.学科网

2．若集合，，则有
A． B．
C． D．

【答案】B
易错点3 忽视空集易漏解

已知集合，，若，则实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【错解】∵，∴，∴.
由知，∴，则.
∴m的取值范围是.
【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A，都有，所以错解中忽略了时的情况.
【试题解析】∵，∴.，
①若，则，即，故时，；
②若，如图所示，

则，即.
由得，解得.又∵，∴.
由①②知，当时，.
【参考答案】C

（1）对于任意集合A，有，，所以如果，就要考虑集合可能是；如果，就要考虑集合可能是.
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即，.

3．集合，若，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【解析】当时，集合，满足题意；当时，，若，则，∴，所以，故选B．
【答案】B
易错点4 A是B的充分条件与A的充分条件是B的区别

设,则“”是“”的]
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【错解】选A．
【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.
【试题解析】若，则，但当时也有，故本题选B．
【参考答案】B

（1）“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，即B⇒A且AB；
（2）“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A，即A⇒B且.

4．已知，，若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【解析】由基本不等式得，，由，又因为的一个充分不必要条件是，则，故选A．
【答案】A
易错点5 命题的否定与否命题的区别

命题“且”的否定形式是
A． B．
C． D．
【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词；
对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；
错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．
【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“且”的否定形式是“ ”．故选D．
【参考答案】D

1．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．
2．命题的否定
（1）对“若p，则q”形式命题的否定；
（2）对含有逻辑联结词命题的否定；
（3）对全称命题和特称命题的否定．
（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．

5．已知，则¬p是¬q
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

将命题的否定形式错误地认为：，∴x2＋4x−5(f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】对于，其图象的对称轴为，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是单调函数.
26．已知集合，集合，若，则实数=________．
【答案】1
【解析】由题意得,验证满足.
【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.
27．若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为命题“”是假命题，所以为真命题，即，故答案为.
28．已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】条件p:log2(1−x)