2023通辽开鲁县一中高一上学期期末考试数学试题含解析

开鲁一中2022-2023学年度上学期第二次检测数学学科试卷考试时间：120分钟；满分：150分一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上）1. 已知集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合，然后根据补集及交集的定义运算即得.【详解】因为,,,.故选：C.2. 命题“，”的否定形式为（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定形式即可求解.【详解】命题“，”的否定是 “，”，故选：.3. 设，则的大小关系为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合临界值即可得解.【详解】因为在上单调递减，所以，因为在上单调递减，且恒成立，所以，因为在上单调递减，所以，综上：.故选：A.4. 已知函数，则其部分大致图像是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性及在上符号可得正确的选项.【详解】函数的定义域为R， 设.因为，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，所以排除选项A，C.当时，，所以，故D正确.故选：D5. 已知，对任意的，恒成立，则实数的最小值是（　　）A  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】可判断出为上单调递增的奇函数，，恒成立，可转化为恒成立，继而可得恒成立，从而可得答案.【详解】，且，∴为奇函数，且在R上单调递增，又，恒成立，∴恒成立，∴，即，时，显然不满足题意；∴，解得：，∴实数a的最小值是，故选：D．6. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分与两种情况，结合函数单调性，奇偶性及，解不等式，求出解集.【详解】偶函数在上单调递减，则在单调递增，因为，则当时，，即，
 故或，解得：或，或与取交集得：，则当时，，即故，解得：，与取交集，解集为空集，综上：不等式的解集为．故选：D．7. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知式子结合同角三角函数的商数关系与平方关系，可求得的值，再由诱导公式求得的值.【详解】解：①，由于代入①，得：，由于，所以，故，所以.故选：C.8. 已知定义在上的函数单调递减，且对任意恒有，则函数的零点为（    ）A  B.  C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】设,可得，根据单调性可得，从而可求，令可求零点.【详解】设，则，方程等价为，令，则， 满足方程，∵函数单调递减，∴值唯一，∴，由得，解得，故函数的零点为2.故选:C.二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上）9. 已知实数，，，则下列结论正确的是（    ）A. 的最小值是 B. 的最小值是4C. 的最小值是 D. 的最大值是，【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式和平方关系即可判断选项AC，根据可利用基本不等式中“1”的妙用即可判断B，将平方可求得其取值范围，即可判断D.【详解】对于A，利用基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故A错误；对于B，，当且仅当时等号成立，即B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，所以C正确；对于D，由可得，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故D正确.故应选：BCD.10. 已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（  ）A. 4 B. 3 C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围.【详解】由函数是上的增函数，所以所以，故选：CD.11. 若函数，则下列说法正确的是（    ）A. 若，则为偶函数 B. 若的定义域为R，则C. 若，则的单调增区间为 D. 若在上单调递减，则【答案】AB【解析】【分析】对于A选项：根据偶函数的定义即可判断；对于B选项：根据二次函数在上恒成立的条件即可判断；对于C选项：求出的定义域，然后得到的单调增区间，即可判断；对于D选项：根据函数的定义域和复合函数的单调性即可判断.【详解】当时，，其定义域为，且，所以为偶函数，故A正确；若的定义域为R，则对恒成立，所以，，故B正确；当时，，由解得或，故的定义域为，因为在上单调递减，在单调递增，在定义域内单调递增，所以由复合函数的单调性可得的单调增区间为，故C错误；若在上单调递减，所以由复合函数单调性可得在上单调递减，且都大于0，所以，且，解得：，故D错误；故选：AB.12. (多选)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系t＝且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是（    ）A. 该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时B. 当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少C. 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D. 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间【答案】AD【解析】【分析】由题设可得即可写出解析式，再结合各选项的描述及函数图象判断正误即可.【详解】由题设，可得，解得，∴，∴，则，A正确；时，保鲜时间恒为64小时，时，保鲜时间随增大而减小，B错误；此日11时，温度超过11度，其保鲜时间不超过2小时，故到13时甲所购食品不在保鲜时间内，C错误；由上分析知：此日14时，甲所购食品已过保鲜时间，D正确.故选：AD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13. 是它与单位圆交点为的______条件．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】解：当时，它与单位圆的交点为，反之与单位圆的交点为，则，所以，是它与单位圆的交点为的充分不必要条件.故答案为：充分不必要14. 已知，，则＝__________.【答案】【解析】【分析】根据，，三者的关系求解即可.【详解】由已知，得，两边平方得，整理得，所以，由知，，又，，即，故；，故答案为：.15. 若实数x，y满足，且，则的最小值为___________.【答案】8【解析】【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答.【详解】由得：，又实数x，y满足，则，当且仅当，即时取“=”，由解得：，所以当时，取最小值8.故答案为：8【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.16. 已知偶函数，当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为__________【答案】【解析】【分析】作出函数的图象,将问题转化为函数与有4个不同的交点，由图示可得答案.【详解】解：作出函数的图象如下图所示，令，则，若函数恰有4个不同的零点，则需函数与有4个不同的交点，所以实数的取值范围为，故答案为：. 四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简得，平方得，进而可求解，（2）根据诱导公式以及立方差公式即可求解.【小问1详解】由可得，将其两边平方得，由于，故，进而得，因此，【小问2详解】18 计算:（1）；（2）.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用指数的运算性质计算可得出所求代数式的值；（2）利用对数、指数的运算性质计算可得出所求代数式的值.【小问1详解】解：原式.【小问2详解】解：原式.19. 已知函数（a为常数）和函数，且为奇函数．（1）求实数a的值；（2）设不等式恒成立，试求实数的范围．【答案】（1）1    （2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义求出a；（2）运用参数分离法，构造函数，运用函数的单调性求解.【小问1详解】为奇函数，，即，解得，经检验符合题意；【小问2详解】由，得，则，而，，，，实数的取值范围是；20. 近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）.其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.参考数据：.（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比最小整数值？【答案】（1）    （2）45【解析】【分析】（1）根据最大速度公式求得正确答案.（2）根据火箭最大速度的要求列不等式，由此求得正确答案.【小问1详解】当总质比为230时，，即型火箭的最大速度为.【小问2详解】型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以型火箭的喷流相对速度为，总质比为，由题意得：因为，所以，所以在材料更新和技术改进前总质比最小整数值为45.21. 已知（1）求的解析式，并求函数的零点；（2）若，求；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】（1），零点为    （2）7    （3）4【解析】【分析】（1）由换元法带入求解的解析式，再令解出即得零点；（2）由（1）知的解析式，令化简，再代入中即可求得结果；（3）首先分离参数，转化成基本不等式即可求得实数的最大值.【小问1详解】令，则，因此，即.由得，解得，即函数的零点为.【小问2详解】由（1）知，因此由得，所以.【小问3详解】由条件知.因为对于恒成立，且，当且仅当时取等号，所以对于恒成立.而，当且仅当即时，等号成立，所以，因此实数的最大值为4.22. 已知二次函数的最小值为1，且满足，，点在幂函数的图像上．（1）求和的解析式；（2）定义函数试画出函数的图象，并求函数的定义域、值域和单调区间．【答案】（1）；    （2）作图见解析；定义域为，的单调递增区间为，单调减区间是，的值域为【解析】【分析】（1）设二次函数，，由待定系数法求解即可；（2）由（1）结合题意求出，画出函数图象求出函数的定义域、值域和单调区间.【小问1详解】设二次函数，．因为的最小值为1，所以；因为，所以；因为，所以．所以．将点代入，求得，所以，．【小问2详解】分别画出函数和的图象，观察图象可得，因为所以所以，函数的定义域为作出函数的图象如下：由图象得，的单调递增区间为，单调减区间是．的值域为．