人教版数学八年级下册：二次根式的乘除--知识讲解（基础） (含答案)

二次根式的乘除法—知识讲解（基础） 【学习目标】1、  掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、  了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
  (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
  (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.
  (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根:
　　（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
  (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，      ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；  (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
要点诠释：
　　(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.
　　(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质:
　　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
　　运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式
   （1）被开方数不含有分母；   （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.       满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除法1．(1)×； 　(2)×； (3)；   (4)；【答案与解析】(1)×=； (2)×==；
(3)===2；
(4)==×2=2.　【总结升华】直接利用计算即可．举一反三：
　【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：
     (1)；    (2)×=4××=4×=4=8.　【答案】(1)不正确．
改正：=＝×=2×3=6；
(2)不正确．
改正：×=×===＝4.2.计算：（1）（2014秋•门头沟区期末） 4÷（﹣）×．     （2）（2020秋•松江区校级期中）计算：÷×．【思路点拨】做二次根式的乘除时要注意计算法则，根号外和根号内的因式分别相乘除，最终计算结果要化为最简形式.【答案与解析】解：（1）原式=﹣2÷×=﹣×=．               （2）原式÷×==．【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.类型二、最简二次根式3.（2020春•河北月考）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．（1）     （2）     （3）       （4）     （5）．【思路点拨】最简二次根式要满足两个条件（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.【答案与解析】解：（1）=，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．（2）=，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它不是最简二次根式；（4）==，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；（5）==，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.举一反三：
【变式】化简（1）           （2）【答案】(1)原式==;       （2） 原式=4.已知0<<,化简.【答案与解析】原式==                    =【总结升华】成立的条件是>0;若<0,则.