人教版数学八年级下册：勾股定理的逆定理（基础）知识讲解 (含答案)

勾股定理的逆定理（基础） 【学习目标】1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.         （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）       首先确定最大边（如）.（2）       验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　①     3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；         （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；         （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、原命题与逆命题1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确　　1．原命题：猫有四只脚． 2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等． 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等． 【答案与解析】1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.举一反三：【变式】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．【答案】①④提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长满足”也是正确的.类型二、勾股定理的逆定理 2、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵  ，，∴  ．∴  由线段组成的三角形是直角三角形．   （2）∵  ，，，∴  ．∴  由线段组成的三角形不是直角三角形．    （3）∵  ，∴  ，．∵，，∴  ．∴  由线段组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．举一反三：【变式1】判断以线段为边的△ABC是不是直角三角形，其中，，．【答案】解：由于，因此为最大边，只需看是否等于即可．∵  ，，，∴  ， ∴  以线段为边能构成以为斜边的直角三角形．【变式2】（2020春•永州校级期中）下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③1，2，4；④5，6，8．其中可以为直角三角形三边长的有　     　．（把所有你认为正确的序号都写上）【答案】①②；解：①∵52+122=132，能构成直角三角形；②72+242=252，能构成直角三角形；③12+22≠42，不能构成直角三角形；④52+62≠82，不能构成直角三角形．所以①②．故答案为：①②．3、（2020春•大石桥市校级期末）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．【思路点拨】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．【答案与解析】解：连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．【总结升华】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．【答案】解：EC⊥EB．过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD是矩形，在Rt△BCF中，可得CF＝．则AD＝CF＝，故DE＝AE＝AD＝．在Rt△ABE和Rt△DCE中，，．∴  ．∵  BC＝3，∴  ．∴  ∠CEB＝90°，∴  EB⊥EC．类型三、勾股定理逆定理的实际应用4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了．【答案与解析】解：根据题意可画出上图，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30，在△PQR中，，∴  ．∴  △PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°．又∵  “远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°，∴  ∠RPN＝45°．由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向．