数学八年级下册19.2.2 一次函数巩固练习

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一次函数与一次方程（组）（提高） 【学习目标】1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程的关系     一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
要点二、一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
    要点诠释：
　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.
　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.要点三、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程1、方程的解是＝______，则函数在自变量等于_______时的函数值是8.【答案】2；2；【解析】解方程得到：.函数的函数值是8．即，即函数在自变量等于2时的函数值是8．【总结升华】本题主要考查了一元一次方程与一次函数的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．举一反三：【变式】（2020•平顶山三模）直线y=2x+3与坐标轴围成的面积是（　　）A．     B．3       C．      D．6【答案】C．解：如图，设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y=2x+3中，令y=0，可得2x+3=0，解得x=﹣，令x=0，可得y=3，∴A（，0），B（0，3），∴OA=，OB=3，∴S△AOB=OA•OB=××3=，故选C．类型二、一次函数与二元一次方程组2、用图象法解方程组：【思路点拨】画出图象，两条直线的交点就是方程组的解.【答案与解析】解法一：将方程组化为在坐标系中画出直线和．列表： …02……0… …00.5……0…由图象知，它们的交点坐标为（，），并进行验证；可得原方程组的解为解法二：令，即．因为直线与轴（直线＝0）的交点为（，0），所以方程组中，进而．【总结升华】一般地，若两条直线和的交点坐标为（，），则方程组的解为 其中．举一反三：【变式】分别用和表示两个关于的代数式，在坐标系中，如果函数与的图象有3个交点，那么方程组的解的个数是      ．【答案】3； 3、（2020•杭州模拟）已知直线y1=x，，的图象如图，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为        　．【思路点拨】先判断出y的最大值为直线y2与y3的交点的纵坐标，然后联立两直线解析式求解即可．【答案】2．【解析】解：根据题意，y的最大值为直线y2与y3的交点A的纵坐标，联立，解得，所以，当x=3时，y的值最大为2．【总结升华】本题考查了一次函数的性质，准确识图并判断出y取得最大值时的情况是解题的关键，求A点的坐标就是联立y2与y3，求该方程组的解.类型三、一次函数与一次方程（组）的应用4、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：    (1)小聪在图书馆查阅资料的时间为_____分钟，小聪返回学校的速度为____千米/分钟；    (2)请你求出小明离开学校的路程(千米)与历经过的时间(分钟)之间的函数关系式；    (3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米? 【思路点拨】（1）图象所示AB段为查阅资料时间.线段BC表示小聪返校时的图象.（2）s是t的正比例函数，可设s＝kt，将（45,4）代入求出k即可.（3）先求出直线BC的解析式，再求出BC与OD的交点.【答案与解析】解：(1)15 ；；(2)由图象可知，是的正比例函数．设所求函数的解析式为：．代入(45，4)得：4＝45．解得．∴  与的函数关系式为．     (3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内与小明相遇．           是的一次函数，设函数解析式为，           代入（30，4），（45，0）得解得：．           ∴  ，令，           解得．           当时，．           答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．【总结升华】本题主要考查函数图象的识图与一次函数图象关系式的解法，求函数关系式的一般方法是待定系数法，函数问题是中考的必考知识点，应引起足够重视．