【中考专题】专题03 代数式与整式（全国通用）（原卷版）
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专题一 数与式03 代数式与整式
考点1：整式的相关概念（1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．（3）整式：单项式和多项式统称为整式．（4）同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．（5）代数式及求值1.概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式； 2.列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程； 3.代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；4.代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算． 典例1-1：（2022·重庆八中三模）下列说法中，不正确的是（ ）A．的系数是，次数是 B．是整式C．是二次二项式 D．的项是，，【变式1】（2022·浙江台州·一模）若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为______．【变式2】下列说法中，正确的是（ ）A．单项式的系数是–2，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是0C．–3x2y+4x–1是三次三项式，常数项是1 D．单项式的次数是2，系数为【变式3】已知多项式x2ym+1+xy2–3x3–6是六次四项式，单项式6x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m+n的值．典例1-2：（2022•永州）若单项式3xmy与﹣2x6y是同类项，则m＝ ．【变式1】若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（ ）A．3 B．6 C．8 D．9【变式2】下列各组中，是同类项的是（ ）A．x3y4与x4y3 B．–3xy与xzC．5ab与–2ba D．–3x2y与x2yz【变式3】已知单项式2amb2与–a4bn–1的差是单项式，那么m2–n=__________．典例1-3：（2022•邵阳）已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝ ．【变式1】（2022•郴州）若，则＝ ．【变式2】（2022•贵州）代数式3x2－4x－5的值为7，x2－x－5的值为________．【变式3】已知a － b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( ) A．－1 B．1 C．－5 D．5考点2：整式的加减运算（1）合并同类项：①字母和字母的指数不变；②同类项的系数相加减作为新的系数．（2）添（去）括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项符号不变；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变减号，减号变加号．典例2：（2022·陕西省西安高新逸翠园学校模拟预测）已知，．(1)求；(2)若的值与y的取值无关，求x的值．【变式1】（2022•泰州）下列计算正确的是（ ）A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3 C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2【变式2】（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 ．【变式3】（2022·陕西·西安市第三十一中学模拟预测）某同学做一道题：“已知两个多项式和，计算”，他误将看成，求得的结果为，已知．(1)求多项式；(2)请你求出的正确答案． 考点3：幂的运算法则（1）同底数幂相乘：am·an＝am＋n（m，n都是整数，a≠0）．（2）幂的乘方：（am）n＝amn（m，n都是整数，a≠0）．（3）积的乘方：（ab）n＝an·bn（n是整数，a≠0，b≠0）．（4）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m，n都是整数，a≠0）．典例3：（2022·广东广州·二模）已知，．若，则的值为（ ）A． B． C． D．【变式1】（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．【变式2】（2022•镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）A．3a2+2a2＝5a4 B．a3﹣2a3＝a3 C．a2•a3＝a5 D．（a2）3＝a5【变式3】（2022•哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）A．（a2b3）2＝a4b6 B．3b2+b2＝4b4 C．（a4）2＝a6 D．a3•a3＝a9考点4：整式的乘除运算（包含乘法公式）①单项式与单项式的乘法：-2ab•ac=-2a2bc单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。②单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。④单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。⑤多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。典例4-1：（2022•上海）下列运算正确的是（ ）A．a2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【变式1】计算： x•（﹣2x2）3= ．【变式2】（2022•广元）下列运算正确的是（ ）A．x2+x＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2 C．3y•2x2y＝6x2y2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 【变式3】（2022•赤峰）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（ ）A．13 B．8 C．﹣3 D．5典例4-2：（2022·湖北荆门·中考真题）已知x+＝3，求下列各式的值：(1)（x﹣）2；(2)x4+． 【变式1】（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为____________．【变式2】（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ ．【变式3】（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．考点5：整式的化简求值典例5：（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=．【变式2】某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步）=a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）=2ab﹣b2 （第三步）（1）该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ；（2）写出此题正确的解答过程． 【变式3】（2022·广西河池·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 考点6：因式分解（1）提公因式法：mambmc m(a+b+c). （2）公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2（3）分组分解法：通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分组方式一般分为“1+3”式分组和“2+2”式分组。（4）十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=(x+p)(x+q) 因式分解的一般步骤：一“提”（取公因式），二“套”（公式），三“分”（分组），四“查”（检查）（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．（2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；（3）如果项数较多或无法直接分解时，要分组分解．（4）分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式.易错知识辨析：（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式典例6：（2022·安徽芜湖·二模）下列因式分解正确的是（ ）A． B．C． D．【变式1】已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b、c的值为（ ）A．b=3，c=-1 B．b=-6，c=2 C．b=-6，c=-4 D．b=-4，c=-6【变式2】（2022·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：________．【变式3】（2022•常德）分解因式：x3﹣9xy2＝ ．【变式4】（2022•顺德）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 巩固训练一、选择题1．(2022·南京)计算a3·(a3)2的结果是( )A．a8 B．a9 C．a11 D．a182. (2022·河北)图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，做对的题数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个3．(2022·龙岩质检)下列计算正确的是( )A.＝±2 B．2x(3x－1)＝6x2－1C．a2＋a3＝a5 D．a2·a3＝a5 4. (2022·山西)下列运算正确的是( )A．(－a3)2＝－a6 B．2a2＋3a2＝6a2C．2a2·a3＝2a6 D.＝－ 5．(2022·眉山)下列计算正确的是( )A．(x＋y)2＝x2＋y2 B．(－xy2)3＝－x3y6C．x6÷x3＝x2 D.＝2 6．(2022·陕西)下列计算正确的是( )A．a2·a3＝2a4 B．(a－2)2＝a2－4C．(－a2)3＝－a6 D．3a2－6a2＝3a2 7．(2022·绍兴)下面是一位同学做的四道题：①(a＋b)2＝a2＋b2，②(－2a2)2＝－4a4，③a5÷a3＝a2，④a3·a4＝a12，其中做对的一道题的序号是( )A．① B．② C．③ D．④ 8．(2022·安徽)下列分解因式正确的是( )A．－x2＋4x＝－x(x＋4)B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2) 9．(2022·云南省卷)已知x＋＝6，则x2＋＝( )A．38 B．36 C．34 D．32 10．(2022·云南省卷)按一定规律排列的单项式：a，－a2，a3，－a4，a5，－a6，…，第n个单项式是( )A．an B．－an C．(－1)n＋1an D．(－1)nan11．(2022·南平质检)已知一组数a1，a2，a3，…，an，…，其中a1＝1，对于任意的正整数n，满足an＋1an＋an＋1－an＝0，通过计算a2，a3，a4的值，猜想an可能是( )A. B．n C．n2 D．1 12．(2022·河北)用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图的方式向外等距扩1(单位：cm)，得到新的正方形，则这根铁丝需增加( )A．4 cm B．8 cmC．(a＋4) cm D．(a＋8) cm13.(2022·重庆A卷)按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是( )A．x＝3，y＝3 B．x＝－4，y＝－2C．x＝2，y＝4 D．x＝4，y＝214．(2022·重庆A卷)把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为( )A．12 B．14 C．16 D．18 15．(2022·原创)木工师傅要把一根质地均匀的圆柱形木条锯成若干段，按如图的方式锯开，每锯断一次所用的时间相同，若锯成6段需要10分钟，则锯成n(n≥2且n为整数)段所需要的时间为( )A.n分钟 B．2n分钟C．(2n－2)分钟 D．(2n＋2)分钟二、填空题16．(2022·天津)计算2x4·x3的结果等于________．17．(2022·漳州质检)因式分解：ax2－a＝__________. 18. (2022·河北)若a，b互为相反数，则a2－b2＝________. 19．(2022·临沂)已知m＋n＝mn，则(m－1)(n－1)＝________. 20．(2022·山西)某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机每台进价为a元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号洗衣机的零售价为________元．三、解答题21．(2022·南平质检)先化简，再求值：(a＋2b)2－4a(b－a)，其中a＝2，b＝. 22．(2022·乌鲁木齐)先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋(2x－1)2－2x(2x－1)，其中x＝＋1. 23．(2022·原创)设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A－B”时，误将符号抄错而计算成了“A＋B”，得到结果是C，其中A＝x2＋x－1，C＝x2＋2x，那么A－B＝________．24．(2022·荆州)如图所示，是一个运算程序示意图，若第一次输入k的值为125，则第2 018次输出的结果是______．25．(2022·淄博)先化简，再求值：a(a＋2b)－(a＋1)2＋2a，其中a＝＋1，b＝－1. 26．(2022·河北)嘉淇准备完成题目：化简：(Ｋx2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数Ｋ印刷不清楚。 (1)他把“Ｋ”猜成3，请你化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“Ｋ”是几？ 27．(2022·原创)小丽和小兵在计算(2x＋5)(2x－5)＋2(4x＋3)－ 4(x＋1)2并求值时，他们进行了如下的对话，小丽说：“发现这个式子，当x＝2和x＝2 018时，它的值相等”．小兵说：“对于不同的x值，应该有不同的结果．”请你经过计算，判断他们谁说的对．
