2022-2023学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题1．已知直线与直线平行，则值为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两直线平行可直接构造方程求得结果.【详解】，，解得：.经检验成立故选：B.2．已知a、b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】C【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可.【详解】对于A：若，，则或，故A错误；对于B：若，，则或与相交，故B错误；对于C：若，，则，故C正确；对于D：若，，，则或与异面，故D错误.故选：C.3．已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直.【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，则，即点A坐标为.故选：C4．宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦〔九韶〕、李〔冶〕、杨〔辉〕、朱〔世杰〕四大家”，朱世杰就是其中之一．他的著作《算学启蒙》中，记载有这样一个“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b分别为4，2，则输出的n=（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】按流程图逐一执行即可．【详解】输入的a，b分别为4，2时，依次执行程序框图可得：第一次：，，不成立，则；第二次：，，不成立，则；第三次：，，成立，输出．故选：B．5．关于用统计方法获取、分析数据，下列结论错误的是（    ）A．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，合理的调查方式为抽样调查B．若甲､乙两组数据的标准差满足，则可以估计甲比乙更稳定C．若数据的平均数为，则数据 的平均数为D．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生200人，女生400人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为80，则男生样本容量为60【答案】D【分析】由抽样调查，标准差，平均数相关知识分析各选项即可.【详解】A选项，因大型超市某商品数量较大，则用抽样调查较为合理，故A正确；B选项，标准差较小的数据更加稳定，故B正确；C选项，由题有，故C正确；D选项，由题可得抽取样本中男生与女生的比例为，则男生样本容量为，故D错误.故选：D6．若圆与圆有且仅有3条公切线，则m=（    ）A．14 B．28 C．9 D．【答案】A【分析】分别求出两圆的圆心及半径，再根据圆与圆有且仅有3条公切线，可得两圆外切，则，从而可得答案.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为圆与圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切，则，即，解得.故选：A.7．若满足约束条件，且的最大值为，则正实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据可行域存在可确定，结合的最大值可确定在轴截距的最小值为，采用数形结合的方式可确定所过点的坐标，进而求得的值.【详解】由得：，记为，当过点时，，当时，可行域不存在，不合题意；当时，，不合题意；，则可得可行域如下图阴影部分所示，当取得最大值时，直线在轴截距最小，最小值为，由图形可知：当取得最大值时，过点，由得：，即，，解得：.故选：A.8．如图，在直棱柱中，，，E为BC的中点，F为的中点，则异面直线AF与所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接BF，证明，在中计算即可作答.【详解】在直棱柱中，连接BF，如图，因E为BC的中点，F为的中点，则，则四边形为平行四边形，即有，因此是异面直线AF与所成角或其补角，因平面，平面，则，又，，平面，即有平面，平面，即，令，则，所以异面直线AF与所成角的正弦值为.故选：B9．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：x2023252730z22.4334.6 由上表可得经验回归方程，则当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为（    ）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】根据线性回归方程的性质求出，由此可求.【详解】由表格数据知：，，因为数对满足，得，∴，即，∴，∴x＝35时，.故当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为.故选：A.10．已知直线与圆交于A，B两点，且，则k =（    ）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】由，可知直线到圆心距离为，据此可得答案.【详解】由图，可知，取AB中点为C，则由垂经定理可得，OC平分，故，即圆心到直线距离为，则，结合，可得.故选：B.11．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点到平面的距离，进而求出点到平面的距离，即可计算出三棱锥的体积．【详解】解：因为是边长为的正三角形，所以外接圆的半径，所以点到平面的距离，为球的直径，点到平面的距离为，此棱锥的体积为，故选：A．12．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．①三棱锥中，点P到面的距离为定值②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为③ 直线与面所成角的正弦值的范围为④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为以上命题为真命题的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，对于①③用空间向量求解；对于②可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于④设球心，由求解球心坐标即可.【详解】以A为坐标原点，分别以为轴建系如图：,，，设,则，所以设面的一个法向量为，则令得，对于①：到平面的距离为，故①正确；对于②：连接，因为四边形为平行四边形，，又面，面，面，同理可证面，又，所以面面，所以过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为，它是边长为的等边三角形，故面积为，故②正确；对于③：设直线与面所成角为，则，，，所以直线与面所成角的正弦值的范围为，故③正确；对于④：当点P为中点时，设三棱锥的外接球球心， ，，解得，所以外接球半径满足：，三棱锥的外接球表面积为，故④正确；综上：①②③④均正确.故选：D【点睛】几何体外接球球心的求法：（1）将几何体置入长方体中找球心；（2）利用几何法找到几何体各个顶点距离相等的点即为球心；（3）设球心坐标，根据到各顶点的距离相等解方程组得到球心坐标. 二、填空题13．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中的值______．【答案】【分析】根据茎叶图可求得两组数据的中位数，进而构造方程求得的值.【详解】由茎叶图可知：乙组数据的中位数为，甲、乙两组数据的中位数相同，甲组数据的中位数为，即，解得：.故答案为：.14．已知点A在圆C：上，点B在直线上，则最小值是____.【答案】【分析】由题意可知最小值为圆心到直线的距离减去半径.【详解】圆C：的圆心，半径，圆心到直线的距离为：，由题意可知，故答案为：.15．下图为一个多面体的直观图和三视图，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞舞，则它飞入几何体EF-MBC内的概率为____.【答案】##0.5【分析】结合题目条件可得，.则蝴蝶飞入几何体EF-MBC内的概率为【详解】由直观图可得，，则.则蝴蝶飞入几何体EF-MBC内的概率为.故答案为：.16．已知实数x，y满足，则的最大值为______.【答案】【分析】利用几何意义转化为点到直线距离和两点距离之比，结合直线与圆的相切求解即可【详解】不妨设点是圆上任一点，则的几何意义为点到直线的距离，过作的垂线，垂足为，则，又表示点到原点的距离，从而，又直线与圆相切时，，解得，所以当直线为圆的另一条切线时，最大，取最大值，此时，所以的最大值为，故答案为： 三、解答题17．已知的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．(1)求BC边上的高所在直线的方程；(2)求AB边的垂直平分线所在直线的方程．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）BC边上的高所在直线过点A，且与直线BC垂直；（2）AB边的垂直平分线过AB中点，且与直线AB垂直.【详解】（1）边所在的直线的斜率，因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为．又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，即；（2）边所在的直线的斜率，所以边的垂直平分线的斜率为，边中点E的坐标是，即， 所以AC边的垂直平分线的方程是即．18．如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，分别是的中点． (1)求证：；(2)求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，进而可得，又，则结论成立；（2）利用线面平行的判定定理证明出面，由（1）可得面，再由面面平行的判定定理得出结论成立．【详解】（1）平面，平面，；四边形为正方形，；平面，，平面，又平面，；分别为的中点，，.（2）四边形为正方形，且分别为，边的中点，，面，面，面，由（1）知，面，面，面，又，平面平面．19．某次人才招聘活动中，某公司计划招收600名新员工．由于报名者共2000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取．现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如下：已知直方图中，左边四个小长方形的高度自左向右依次构成公比为2的等比数列．根据频率分布直方图解答以下问题：（1）求；（2）估计此次笔试的平均成绩；（3）估计该公司此次招聘的录取分数线．【答案】（1）    （2）67.1     （3）75【分析】(1)先求出成绩在30到70的频率为0.6，然后根据条件列出方程求解即可.（2）先求出成绩在各段的频率，由求平均数的公式可得答案.（3）先求出录取的频率为0.3，从由右到左求出频率为0.3的点即可.【详解】（1）笔试成绩在30到70的频率为 由左边四个小长方形的高度自左向右依次构成公比为2的等比数列，分别设为 所以，解得 所以 （2）成绩在各段的频率分布为： 平均值为： （3）由于报名者共2000人，计划招收600名新员工，则由成绩在80到100的频率为.由于成绩在70到80之间的频率为0.2所以被录取的分数在70到80之间的频率应为0.1，故录取成绩分数为75.20．已知袋子中放有大小和形状相同，标号分别是0，1，2的小球，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球1个.从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的球标号为b. 记“”为事件A．(1)求事件A的概率；(2)在区间内任取2个实数x，y，求事件“”恒成立的概率.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为，标号为2的小球记为2，再用坐标表示取球情况，可得取球总情况数，则；（2）设事件“恒成立”为事件B，由题可得事件B等价于“恒成立”，又全部结果构成区域为，事件B所构成的区域，则所求概率为两区域面积之比.【详解】（1）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为，标号为2的小球记为2，则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果：，，，，共12种.其中满足“”的有，共4种.故；（2）设事件“恒成立”为事件B，因，故事件B等价于恒成立.又全部结果构成区域，事件B所构成的区域，如下图所示.则.21．在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，且点E满足．（1）证明：GF∥平面ABC；（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND，易得四边形CDNM是平行四边形，进而可得CM//DN，由中位线性质有GF//DN，则GF//CM，再应用线面平行的判定即可证结论.（2）过B作BH⊥AC交AC于H，由多面体ABCDE体积最大即BH最大，可知AB=BC=，构建{,,}为正交基底的空间直角坐标系，求面ABE、面DBE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角ABED的余弦值.【详解】（1）取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND．在梯形ACDE中，DC∥EA且DC=EA，且M，N分别为BA，BE中点，∴MN//EA，MN=EA，∴MN//CD，MN=CD，即四边形CDNM是平行四边形，∴CM//DN，又，N为EB中点，∴G为EN中点，又F为ED中点，∴GF//DN，即GF//CM，又CM平面ABC，GF平面ABC，∴GF∥平面ABC．（2）在平面ABC内，过B作BH⊥AC交AC于H．∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，BH平面ABC，BH⊥AC，∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B-ACDE的高，又底面ACDE面积确定，要使多面体ABCDE体积最大，即BH最大，此时AB=BC=．过点H作HP∥AE，易知HB，HC，HP两两垂直，以{,,}为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H-xyz，∴A(0,1,0)，B(1,0,0)，E(0,1,2)，D(0,1,1)，则=(1,1,0)，=(1,1,2)，=(0,2,1)．设 =(x1,y1,x1)为平面ABE的一个法向量，则，即，取=(1,1,0)，设=(x2,y2,z2)为平面DBE的一个法向量，则，即，取=(3,1,2)，∴，由图知：二面角ABED为钝二面角，∴二面角ABED的余弦值为.22．平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在y轴的正半轴上，直线与圆相切．(1)求圆的方程；(2)设，过点作直线，交圆于P、Q两点，不在y轴上，过点作与直线垂直的直线，交圆于、两点，记四边形的面积为，求的最大值．【答案】(1)(2)7 【分析】(1)设圆心为(0,a)，a>0，结合直线与圆相切，计算出a＝2即可；(2)假设直线方程，借助垂径定理计算出，结合两直线垂直关系同理可得，而，化简后借助基本不等式计算最大值即可.【详解】（1）设圆心为(0,a)，a>0，则圆的方程为∴，∴a＝2，∴圆C的方程为；（2）设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，（i）若，则直线斜率不存在，则，，则，（ii）若，则直线得方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，综上所述，因为，所以S的最大值为7.