2022-2023学年青海省西宁市大通回族土族自治县高二上学期期末考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年青海省西宁市大通回族土族自治县高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题1．经过点的直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用两点斜率公式计算即可.【详解】．故选：C.2．椭圆的焦点坐标是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由椭圆的性质求解.【详解】由题意得，，则，，椭圆焦点在轴上，焦点为，，故选：A3．若，则（    ）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用导数的定义和导数公式进行计算.【详解】由题意可知，，.故选：D.4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接根据双曲线定义得到，，得到双曲线方程.【详解】设双曲线的方程为，半焦距为，则，，故，.所以双曲线的标准方程为.故选：D.5．已知函数，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解方程即得解.【详解】，所以，解得．故选：A．6．平面α与平面β平行的充分条件可以是（    ）A．α内有无穷多条直线都与β平行B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内C．直线 ，直线，且bα，aβD．α内的任何直线都与β平行【答案】D【分析】由平面的基本性质，结合线面、面面间的关系判断是否有面面平行即可.【详解】A：α内有无穷多条直线都与β平行，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；B：直线aα，aβ，且直线a不在α与β内，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；C：直线 ，直线，且bα，aβ，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；D：α内的任何直线都与β平行，α内任取两条相交的直线平行于β，由面面平行的判定知，正确.故选：D.7．若与相外切，则（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据两圆外切，得到圆心距等于半径之和，求出【详解】的标准方程是，圆心的坐标为，半径，的标准方程是，圆心的坐标为，半径，因为与相外切，所以，即，解得：.故选：C.8．已知命题：若，则；命题：若，则.则下列是真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数的运算性质及三角函数的值的特点，结合复合命题真假的判断即可求解.【详解】若，则，所以，故命题为真命题；为假命题；当时，，但，故命题为假命题，所以为真命题；为假命题；为假命题；为假命题.故选：C.9．2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．该卫星是我国综合性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场、太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代，实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破．“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一个椭圆，若我们将太阳看做一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为15210万千米，最近距离为14710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的定义，以及已知可得出，解方程组即可得出的值，进而得出答案.【详解】设公转轨道的长半轴长为（万千米），半焦距为（万千米）.由题意知，解得，所以离心率．故选：D．10．已知原命题：“若x＜－2，则”，则逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，判断真命题个数.【详解】原命题“若，则”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；原命题的逆命题为：“若，则”，由得或，所以逆命题为假命题；又因为原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以否命题为假命题；综上，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题个数为1个.故选：B.11．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆锥的母线为，底面半径为.由已知可得，进而根据圆锥的面积公式可求出，即可得出答案.【详解】设圆锥的母线为，底面半径为.圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的半径为，弧长为，由已知可得，，所以.所以，圆锥的表面积，所以，所以，这个圆锥的底面直径为.故选：B.12．已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数a的取值范围.【详解】由已知，函数的定义域为，.由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，即，可转化为在上恒成立，所以．因为，所以，所以．因此实数a的取值范围是．故选：D．【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案. 二、填空题13．已知命题p：，，则为______．【答案】，【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】为，.故答案为：，.14．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是______．【答案】【分析】根据圆心到直线的距离求出圆的半径，即可得出答案.【详解】圆心到直线的距离.由已知可得，圆的半径，所以该圆的标准方程是．故答案为：．15．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】函数在区间上有极值点，转化为在区间上有解即可求解.【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得．故答案为：16．在菱形中，，M为的中点，将沿直线翻折成，使得平面平面，如图所示，则三棱锥的外接球的体积是________．【答案】【分析】求三棱锥的外接球体积，转化为求长方体的体积，即可得到本题答案.【详解】由题意知，故，又平面平面，平面平面，且平面，故平面，因为M为的中点，所以．如图所示，要求三棱锥外接球体积，即求如图所示的长方体外接球的体积，由已知得长方体的长、宽、高分别为4、、2，则长方体的外接球半径，而球的体积．故答案为： 三、解答题17．设集合，集合．(1)已知p：，若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据，得到不等式组，求出实数m的取值范围；（2）根据题意得到是的真子集，并得到，得到方程组，求出实数m的取值范围.【详解】（1）由题意得，故，解得：，故实数m的取值范围是；（2）由题意得：，由“”是“”的必要不充分条件，得到是的真子集，因为，所以，故或，解得：，故实数m的取值范围是.18．已知直线l经过直线和的交点，且与直线垂直．(1)求直线l的方程；(2)若圆C的半径，且圆心C在y轴的负半轴上，直线l被圆C所截得的弦长为，求圆C的标准方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）将两直线联立方程求出交点，再根据垂直的条件求出直线的斜率，代入点斜式可得直线方程；（2）设出圆的圆心和半径，利用圆的弦长公式可联立方程解方程可得.【详解】（1）由已知，得解得两直线交点为，设直线l的斜率为k，因为直线l与垂直，所以，解得，所以直线l的方程为，即．（2）设圆C的标准方程为，由于直线l被圆C所截得的弦长为，设弦长为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则，，，则由题意，得，解得或（舍去），所以圆C的标准方程为．19．已知函数，且.(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；（2）利用导数可求得的单调性，结合区间端点值和极值可求得的最值，由此可得的值域.【详解】（1），，解得：，，则，在点处的切线方程为：，即.（2）由（1）知：，则，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，又，，，，，，的值域为.20．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，点M，N分别是棱PD的三等分点．(1)证明：平面ACM；(2)求三棱锥N－ACM的体积．【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接BD交AC于E，连接EM，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）证明CD⊥平面PAD，再根据即可得出答案.【详解】（1）证明：连接BD交AC于E，连接EM，因为ABCD是正方形，且BD交AC于E，所以E为BD的中点，又点M，N分别是棱PD的三等分点，所以M为DN的中点，所以，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM；（2）解：因为PA⊥平面ABCD，AD，平面ABCD，所以PA⊥CD，PA⊥AD，因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD，又，AD，平面PAD，所以CD⊥平面PAD，在Rt△PAD中，，点M，N分别是棱PD的三等分点，所以，所以．21．已知函数在及处取得极值．(1)求a，b的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即可得出答案；（2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c的取值范围．【详解】（1）由题意得，函数在及处取得极值，得，解得.此时，.当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意.（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．又有三个不同的实根，由图象知，解得，所以实数c的取值范围是．22．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，且的面积为，其中为坐标原点.(1)求抛物线的方程；(2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，若直线，关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点 【分析】（1）由，得点的横坐标为，代入方程得点的纵坐标为，再的面积为解方程即可，（2）设直线方程，与抛物线方程联立方程组，设，两点坐标，利用直线，关于轴对称，结合斜率公式和韦达定理化简计算即可.【详解】（1）抛物线的焦点为，因为，所以点的横坐标为，代入抛物线方程，得，又的面积为，所以，又，解得，所以抛物线的方程为.（2）证明：设直线的方程为，，，由得，，即，所以，.因为直线，关于轴对称，所以，即，化简，得，所以，所以，所以直线的方程为，恒过定点.