2022-2023学年山东省烟台市高二上学期期末数学试题Word版含答案

  2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断

高二数学

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.是数列的（）

A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项

2.已知椭圆的左､右焦点分别为；若过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，则的周长为（）

A.2B.C.4D.

3.在数列中，，若，则（）

A.B.C.D.

4.如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（）

A.B.C.D.

5.《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（）

A.12B.24C.48D.96

6.若椭圆的中心为坐标原点､焦点在轴上；顺次连接的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接的四个顶点构成四边形的面积为，则的方程为（）

A.B.

C.D.

7.已知数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（）

A.166B.168C.169D.170

8.已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（）

A.B.C.D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知曲线，下列说法正确的有（）

A.若曲线表示椭圆，则或

B.若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值

C.若曲线表示双曲线，则

D.若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值

10.已知等差数列的前项和为，若，则（）

A.公差B.

C.的最大值为D.满足的的最小值为16

11.已知数列的前项和为，且，则（）

A.数列为等差数列B.

C.随的增大而减小D.有最大值

12.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（）

A.过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条

B.设点，则的最大值为

C.点到直线的最小距离为

D.点到直线与点到轴距离之和的最小值为1

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列的前项和为，若，则公差的值为__________.

14.已知双曲线的右顶点为，以为圆心､为半径的圆与的一条渐近线相交于两点，若，则的离心率为__________.

15.去掉正整数中被4整除以及被4除余1的数，剩下的正整数按自小到大的顺序排成数列，再将数列中所有序号为的项去掉，中剩余的项按自小到大的顺序排成数列，则的值为__________.

16.在平面直角坐标系中，若点到点的距离比它到轴的距离大，则点的轨迹的方程为__________，过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，则的最小值为__________.（本题第一空2分，1.第二空3分.）

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知等差数列的前项和为成等比数列：数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）记表示不超过的最大整数，例如.设，求数列的前7项和.

18.（12分）已知双曲线与有相同的渐近线，为上一点.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设双曲线的左､右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与相交于两点，求的面积.

19.（12分）已知数列满足.

（1）求数列的通项公式：

（2）设，数列的前顶和为，求证：.

20.（12分）已知抛物线的焦点为，过拋物线上一点向其准线作垂线，垂足为，当时，.

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线与抛物线交于两点，与轴分别交于（异于坐标原点），且，若，求实数的取值范围.

21.（12分）已知数列满足.

（1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设数列满足，记的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.

22.（12分）已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截拋物线､椭圆所得的弦长之比为.

（1）求的值；

（2）已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线，与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.

2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断

高二数学参考答案

一､选择题

1-8ADDCBACD

二､多选题

9.BCD10.AC11.ABD12.BCD

三､填空题

13.1或14.15.15316.，

四､解答题

17.解：（1）因为成等比数列，

所以，

即，解得，

故，

因为，当时，，

两式相减得：，即，

又时，，即，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

故.

（2）由（1）知，，

则，

所以，

则前7项和.

18.解：（1）设双曲线的方程为，

将点代入方程中得，，

所以，

即双曲线的方程为.

（2）因为，

所以直线的方程为，

联立，得，

设，则.

因为.

而，

所以.

19.解：（1）由得，，

所以对任意恒成立，

于是，又，所以.

（2）由（1）知，，

所以

，

因为，所以，

从而.

20.解：（1）由抛物线的定义可知为等腰三角形，

当时，.

设准线与轴交点为，则，

故抛物线方程为.

（2）设直线方程为，显然，

联立，消得，

所以.（*）.

因为，所以，可得，

将代入（*）式，并消得，.

由题意可得，，

所以，

又，

所以，

故，当且仅当，即时等号成立.

21.解：（1）因为，所以，

，

于是，

又因为，所以是以为首项､为公比的等比数列，于是，即.

（2）由（1）得，，

两式相减得，

所以，

由，得恒成立，

即恒成立，.

时不等式恒成立；

时，，得；

时，，得；

所以.

22.解：（1）设点，则，

又过点且与轴垂直的直线截抛物线､

椭圆的弦长分别为，

所以，.

又，所以.

（2）由（1）知，椭圆的方程为.

设点，易知，

当时，直线的方程为的方程为，

联立，得，

解得，

同理可得，

所以，

所以直线的方程为，

整理得，所以直线恒过定点直线，

当时直线的方程为，也经过，

综上所述直线恒过定点直线.