2022-2023学年重庆市主城区七校高二上学期期末考试数学含解析

  2022—2023学年（上）期末考试

高2024届数学试题

考试说明：1. 考试时间：120分钟

2. 试题总分：150分

3. 试卷页数：4页

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ）．

A. 90 B. 80 C. 60 D. 30

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列前项和的片断和性质可得结论．

【详解】由等差数列的性质，知，，，

…成等差数列，即，所以．

故选：A．

2. 若，，则等于（    ）

A. 5 B.  C. 7 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用空间向量的四则运算与数量积的坐标表示即可求解.

【详解】∵，，∴两式相加得，

∴，∴，

∴，

故选：B．

3. 已知抛物线的焦点为F，，则为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】确定焦点，再利用两点间距离公式计算得到答案.

【详解】抛物线，即，焦点，，.

故选：D

4. 已知点在双曲线上，若两点关于原点对称，过右焦点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设双曲线的左焦点为，连接，可知，由，设，再由双曲线的定义可得，然后利用勾股定理列方程可求得，从而可求出的关系，进而可求出离心率

【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，可知，

设，

解得.

故选：A.

5. 等比数列为递减数列，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】

，可得与为方程的两个根，又，解得，，再利用通项公式即可得出.

【详解】∵等比数列为递减数列，，，

∴与为方程的两个根，

解得，或，，

∵，∴，，

∴，

则，

故选:A.

6. 已知各棱长均为的四面体中， 是的中点，直线，则的最小值为（ ）

A. 1＋ B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将旋转至与共面，连结，则它与的交点，即为使取最小值的点，然后在中利用余弦定理求出的值.

【详解】如图，将旋转至与共面，连结，则它与交点，即为使取最小值的点．

易知，

在中由余弦定理得，

从而由平方关系得，

在中由余弦定理得

，

所以．

【点晴】本题考查空间求线段和差的最值问题，一般转化到同一个平面上处理，结合三角形的正弦、余弦定理求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

7. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ）

A. 110 B. 128 C. 144 D. 89

【答案】C

【解析】

【分析】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，，根据初始值，由此递推即可求得结果.

【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2个黑圈，

所以，，

又因为，，

所以，；

所以，；

，；

，；

，；

.

故选：C.

8. 设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（    ）

A. 直线l与OM一定垂直

B. 若直线l方程为，则.

C. 若直线l方程为，则点M坐标为

D. 若点M坐标为，则直线l方程为

【答案】C

【解析】

【分析】设，利用点差法可得，判断A正确；

结合弦长的求解方法求出，判断B错误；

利用点差法的结论可以求出，判断C正确；

利用点差法的结论可以求出，进而判断D错误.

【详解】不妨设坐标为，则，两式作差可得：

，设，则.

对A：，故直线不垂直，则A错误；

对B：若直线方程为，联立椭圆方程，

可得：，解得，故，

则，故B错误；

对C：若直线方程为y=x+1，故可得，即，又，

解得，即，故C正确；

对：若点M坐标为,则，则，

又过点，则直线的方程为，即，故错误.

故选：C.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知动直线与圆，则下列说法正确的是（    ）

A. 直线过定点

B. 圆的圆心坐标为

C. 直线与圆的相交弦的最小值为

D. 直线与圆的相交弦的最大值为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.

【详解】对于A，直线，即，

令，得，即直线过定点，故A正确；

对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；

对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，

当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，

又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；

对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确.

故选：ACD

10. 已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（    ）

A. 的长轴长与的实轴长相等 B. 的短轴长与的虚轴长相等

C. 焦距相等 D. 离心率不相等

【答案】CD

【解析】

【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.

【详解】由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，

离心率为，

当时，，，

双曲线的焦点在轴上，其实轴长为，虚轴长为，

焦距为，离心率为.

故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，

与的焦距相等，离心率不相等．

故选：CD．

11. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，那么下列选项正确的是（    ）

A. 数列是等比数列 B. 数列的通项公式为

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题设的关系，可判断是否为等比数列，进而可得的通项公式，应用分组求和及等比数列前n项和得，再写出通项，应用裂项法求，即可判断各选项的正误.

【详解】由题设知：，则且，即是等比数列；

∴，且，

又，

∴.

故选：ABD.

12. 已知为正四棱柱，底面边长为2，高为4，E，F分别为，的中点.则下列说法错误的是（    ）

A. 直线与平面所成角的正弦值为

B. 平面平面

C. 直线EF被正四棱柱的外接球截得的弦长为

D. 以D为球心，为半径的球与侧面的交线长为

【答案】ABD

【解析】

【分析】是直线与平面所成角，计算A错误，平面平面，B错误，，球心到的距离为，故弦长为，C正确，交线长为，D错误，得到答案.

【详解】对选项A：平面，故是直线与平面所成角，，错误；

对选项B：，平面，平面，故平面，同理平面，，故平面平面，错误；

对选项C：外接球半径为，球心到的距离为，故弦长为，正确；

对选项D：平面到球心距离为，交线为圆的部分，如图所示，圆半径为，交线长为，错误.

故选：ABD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是______.

【答案】

【解析】

【分析】由相切关系得圆的半径，得圆的标准方程.

【详解】圆心到切线的距离，所以圆的半径，

所以圆的标准方程为.

故答案为：.

14. 线段AB，其中，，过定点作直线l与线段相交，则直线l的斜率的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】计算，，得到范围.

【详解】，，，故，，

两点之间横坐标不包含，故直线l的斜率的取值范围是.

故答案为：

15. 数列满足下列条件：，且，恒有，则______．

【答案】248

【解析】

【分析】由条件，恒有，得出，按照此规律计算到，再分组求和即可得出答案．

【详解】，

，

故答案为：248．

16. 圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆：和双曲线：在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过点，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为，，，，…若，重合，则光线从到所经过的路程为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线的光学性质，结合它们的定义列式计算作答.

【详解】椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，

由椭圆的光学性质知，，

由双曲线的光学性质知，，而，重合，

因此光线从到所经过的路程：

，光线从到所经过的路径重复光线从到所经过的路径，

所以光线从到所经过的路程为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：涉及圆锥曲线上的点与焦点距离的问题，认真分析题意，正确运用好椭圆、双曲线、抛物线的定义是关键.

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 记为等差数列的前n项和，已知，.

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最大值.

【答案】（1）   

（2），9

【解析】

【分析】（1）根据得到，计算，得到通项公式.

（2）确定，根据二次函数的性质得到答案.

【小问1详解】

，，从而，即，

，所以，故.

【小问2详解】

，

时有最大值9.

18. 已知点，直线l：，圆C：.

（1）若连接点D与圆心C的直线与直线l垂直，求实数a的值；

（2）若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标.

【答案】（1）   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由圆的一般方程写出圆心、半径，运用两直线垂直可求得a的值.

（2）求点关于线的对称点，进而求得的最小值，运用点斜式写出直线方程，再求其与x轴交点.

【小问1详解】

圆C：，∴，∴，

∵，

∴，

∴.

【小问2详解】

点关于x轴的对称点为，

则，

当且仅当P、C、三点共线时等号成立，

此时，，则直线方程为：，即，

令，得，所以.

故的最小值为，此时点P坐标为.

19. 在棱长为2的正方体中，M，N，O，P分别为BC，，，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线BN与所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）.

【解析】

【分析】（1）取BD中点Q，连接MQ，，，确定四边形为平行四边形，得到，得到证明.

（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到，，根据向量夹角公式计算得到答案.

【小问1详解】

取BD中点Q，连接MQ，，，则，，

又因为，所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，所以平面.

【小问2详解】

以D为原点，DA、DC、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系.

则，，，，

所以，，

设直线BN与所成角，

所以，

所以异面直线BN与所成角的余弦值为.

20. 已知数列的前n项和满足条件，其中.

（1）求的通项公式；

（2）设数列满足，又，对一切恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）.

【解析】

【分析】（1）计算得到，，相减得到，计算，得到通项公式.

（2）确定，，利用裂项相消法计算和，确定取值范围.

【小问1详解】

，，两式相减得，，

又，，，

数列是以首项为3，公比为3的等比数列，.

【小问2详解】

，，

设，

，

，

又对一切恒成立，，M的取值范围为.

21. 已知四棱锥（如图），四边形ABCD为正方形，面面ABCD，，M为AD中点.

（1）求证：；

（2）求直线PC与平面所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）运用面面垂直性质定理证得面ABCD，以O为原点建立空间直角坐标系，运用空间向量坐标法证明线线垂直.

（2）运用空间向量坐标法求线面角的正弦值，再运用同角三角函数的平方关系可得其余弦值.

【小问1详解】

证明：取AB中点O，连接OP，并过点O作BC的平行线OE，交CD于E，则，

∵，∴为等边三角形，又∵O为AB中点，∴，

又∵面面ABCD，面面，面，

∴面ABCD，∴，

以O为原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，

因为.

则，，，，

，，

所以，

所以.

【小问2详解】

，，

设平面PBM的一个法向量为，则有

，即，

令，则，，所以 ，

设直线PC与平面PBM所成角为，则

，

因为，所以，

所以直线PC平面PBM所成角的余弦值为.

22. 椭圆C：的两焦点分别为，，椭圆与y轴正半轴交于点，.

（1）求曲线C方程；

（2）过椭圆C上一动点P（不在x轴上）作圆O：的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，直线CD与椭圆C交于E、G两点，求的面积的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）确定，根据面积得到，得到椭圆方程.

（2）设，以OP为直径的圆为，两圆相减得到CD：，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算和点到直线的距离得到面积表达式，设，根据函数的单调性得到范围.

【小问1详解】

，故，，故，，

椭圆的方程为.

【小问2详解】

设，以OP为直径的圆圆心为，半径为，

圆方程为：，整理得到，

圆O：，两式相减得到CD：.

由，得到，

，

设，，则，

，

，

，

设，，，

，

上递增，所以，在上递增，

故在上递增，

故 在上递增，

所以.

【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用换元的思想简化函数解析式，再利用函数单调性求最值是解题的关键.