【中考专题】专题06 分式方程及其应用（全国通用）（解析版）
展开专题二 方程与不等式
02 分式方程及其应用
考点1：解分式方程
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程．
（2）解这个整式方程，求得方程的根．
（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
注意：分式方程无解包含：增根或整式方程无解
典例1：（2020•毕节市）小明解分式方程﹣1的过程如下．
解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①
去括号，得3＝2x﹣3x+3．②
移项、合并同类项，得﹣x＝6．③
化系数为1，得x＝﹣6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式1】解分式方程：
（1）；（2）．
【分析】（1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为1、检验解决此题．
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为1、检验解决此题．
【解答】解：（1），方程同乘，得．去括号，得．
移项，得．合并同类项，得．的系数化为1，得．经检验：当时，．
该分式方程的解为．（2），方程两边同乘，得．去括号，得．移项，得．合并同类项，得．的系数化为1，得．
经检验：当时，．是该分式方程的增根．该分式方程无解．
【变式2】（2020·福州一模）已知关于x的方程的解不是正数，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】先解分式方程得到方程的根为：，再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案．
【详解】解： ，
，
解得：，
关于x的方程＝3的解不是正数，
且，
解得：．
故答案为：．
【变式3】（2021•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝+．若（x+1）⊗x＝，则x的值为 ．
【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：+＝，
化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x（x+1）≠0，
∴原方程的解为：x＝﹣．
故答案为：﹣．
考点2：分式方程解的应用（包含增根求参数的值、解的情况求参数范围）
（1）增根求参数：①先去分母化为整式方程②确定增根③将增根代入整式方程解出参数
（2）由解的情况求参数的取值范围：①先去分母化为整式方程②用参数来表示x③根据解的情况构建不等式，求解参数取值范围
典例2-1：若分式方程有增根，则实数a的取值是（ ）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
【考点】分式方程的增根
【分析】先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．
解：方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x=2（x﹣2），
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当x=0时，﹣a=﹣4，
解得，a=4，
当x=2时，6﹣a+2=0，
解得，a=8，
故选：D．
【变式1】（2020·遂宁中考）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【变式2】（2020·潍坊中考）若关于x的分式方程有增根，则_________．
解：去分母得：，整理得：，
∵关于的分式方程有增根，即，
∴，
把代入到中得：，解得：，
故答案为：．
【变式3】（2022·襄阳·一模）关于的方程有增根，则的值及增根的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
解：原分式方程两边都乘以，得：，
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
解得：，
将代入，得：，
解得：，
∴的值及增根的值分别为，，
故选：A．
【变式4】（2022·四川广元·一模）若关于x的分式方程无解，则实数_________．
【详解】解：由可得：
即
因为分式方程无解，
所以，或
由可得
将代入可得，，解得
故答案为：或
典例2-2：若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 ．
【解答】解：，，，，
，，，，，．方程的解为正数，
，．的取值范围为：且．故答案为：且．
【变式1】（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
解：，
给分式方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），
得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，
去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m，
解方程，得x＝m+1，
检验：当
m+1≠2，m+1≠﹣2，
即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解，
根据题意可得，
m+1＞1，
∴m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
【变式2】（2020·荆门中考）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
解：关于x的分式方程
得x=，
∵
∴
解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3
∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,
故选A．
【变式3】（2022·达州·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
解：，
整理得：
若分式方程的解为整数，
为整数，
当时，解得：，经检验：成立；
当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:，
故答案是：．
考点3：分式方程的实际应用
（1）解分式方程应用的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验（既要检验是否为分式方程的解，也要考虑是否符合实际意义）； (6)作答．
（2）常用公式：①行程问题：②工程问题：（工作总量设为1）③销售问题：
典例3：新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
根据题意，得：=，
故选：A．
【变式1】（2022•襄阳）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴＝2×．
故选：B．
【变式2】“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：﹣=30，即．
故选：C．
【变式3】（2022·吉林·长春市模拟预测）2022年北京冬奥会是我国又一次举办的大型国际奥林匹克运动盛会．为了增加学生相关知识，某校开展“冬奥会知识竞赛”活动并计划购买大小两种型号的吉祥物玩偶作为奖品．已知大型号的单价比小型号的单价多元，且学校用元购买小型号的数量是用元购买大型号数量的三倍．
(1)求两种型号玩偶的单价；
(2)为了让更多同学参与竞赛活动，学校决定购进这两种型号吉祥物玩偶共个，但总费用不超过元求最多可购买大型号吉祥物玩偶的个数．
（1）解：设小型号玩偶的单价为元，则大型号玩偶的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
∴小型号玩偶的单价为元，大型号玩偶的单价为元；
（2）设最多购买大型号吉祥物玩偶个，
根据题意，得，
解得，
∴最多可购买大型号吉祥物玩偶个．
巩固训练
一、选择题
1．(2022·漳州质检)如图，在下框解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是( )
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
2．(2022·成都)分式方程＋＝1的解是( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
3．(2022·德州) 分式方程－1＝的解为( )
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝－1 D．无解
4．(2022·株洲) 关于x的分式方程＋＝0的解为x＝4，则常数a的值为( )
A．a＝1 B. a＝2 C. a＝4 D. a＝10
5．(2022·宁德质检)某校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4 000元，购买篮球用了2 800元，篮球单价比足球贵16元．若可列方程＝－16表示题中的等量关系，则方程中x表示的是( )
A．足球的单价 B．篮球的单价
C．足球的数量 D．篮球的数量
6．(2022·黔南州) 施工队要铺设1 000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务，设原计划每天施工x米，所列方程正确的是( )
A.－＝2 B.－＝2
C.－＝2 D.－＝2
7．(2022·淄博)“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务. 设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是( )
A.－＝30 B.－＝30
C.－＝30 D.－＝30
二、填空题
8．(2022·广州)方程＝的解是__________．
9．(2022·常德)分式方程－＝0的解为x＝________．
10．(2022·潍坊)当m＝________时，解分式方程＝会出现增根．
11．(2022·眉山)已知关于x的分式方程－2＝有一个正数解，则k的取值范围为____________．
12．(2022·舟山) 甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%.若设甲每小时检测x个．则根据题意，可列出方程：__________．
13．(2022·厦门质检)A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 kg，A型机器人搬运900 kg所用时间与B型机器人搬运600 kg所用时间相等．设B型机器人每小时搬运x kg化工原料，根据题意，可列方程________．
14.(2022·建设兵团)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支，则该商店第一次购进的铅笔每支的进价是______元．
三、解答题
15．(2022·绵阳)解分式方程：＋2＝.
16. (2022·三明质检)解方程：＋＝1.
17．(2022·云南省卷)某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造，已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
18．(2022·山西)2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南—北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的(两列车中途停留时间均除外)．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．
19．(2022·广东省卷)某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4 200元购买B型芯片的条数相等．
(1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6 280元，求购买了多少条A型芯片？
20．(2022·吉林)下图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
根据以上信息，解答下列问题．
(1)冰冰同学所列方程中的x表示____________，庆庆同学所列方程中的y表示____________；
(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
参考答案
【基础训练】
1．C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.A 7.C 8.x＝2 9.－1 10.2 11.k<6且k≠3 12.＝×(1－10%)
13.＝ 14.4
15．x＝
16．x＝2.
17．答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．
18．答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时．
【拔高训练】
1．解： (1)设B型芯片单价是x元，则A型芯片单价是(x－9)元．
根据题意得，＝，
解得x＝35，
经检验x＝35是原方程的解．
35－9＝26(元)
故A型芯片单价为26元，B型芯片单价为35元．
(2)设购买a条A型芯片，则购买(200－a)条B型芯片．
26a＋35(200－a)＝6 280，
解得a＝80.
故购买了80条A型芯片．
2. 解：(1)∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程，
∴x表示甲队每天修路的长度；
∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，
∴y表示甲队修路400米所需时间．
故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间．
(2)冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间；
庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20米(选择一个即可)．
(3)选冰冰的方程：＝，
去分母，得：400x＋8000＝600x，
解得：x＝40，
检验：当x＝40时，x、x＋20均不为零，∴x＝40.
答：甲队每天修路的长度为40米．
选庆庆的方程：－＝20，
去分母，得600－400＝20y，
解得：y＝10，
经检验：当y＝10时，分母y不为0，
∴y＝10.
∴＝40.
答：甲队每天修路的长度为40米．
