考向05 复数（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（解析版）

考向05  复数

【2022年新高考全国Ⅰ卷】若，则（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法可求，从而可求.

【详解】

由题设有，故，故，

故选：D

【2022年新高考全国II卷】（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法可求.

【详解】

，

故选：D.

1．求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式，则该复数的实部为，虚部为.

2．求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．

3．复数z、复平面上的点及向量相互联系，即．

4．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

5．复数的加减法：在进行复数加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则（实部与实部相加减，虚部与虚部相加减）计算即可．

6．复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．

7．复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．

常用结论：

（1）

（2）.

（3）；

（4） ，，，

1.复数的有关概念

（1）复数的概念：

形如的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部.若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数.

（2）复数相等：且.

（3）共轭复数：与共轭.

（4）复数的模：

向量的模叫做复数的模，记作或，即.

2.复数的几何意义

（1）复数复平面内的点.

（2）复数平面向量.

3.复数的运算

设，则

（1）加法：；

（2）减法：；

（3）乘法：；

（4）除法：.

1．（2022·全国·模拟预测）（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用复数的四则运算求解即可.

【详解】

.

故选：B.

2．（2022·全国·模拟预测）若复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的模长与乘法除法运算求解可得，再根据复数的几何意义分析即可

【详解】

因为，即，故，所以在复平面内所对应的点为，位于第四象限．

故选：D．

3．（2022·青海·模拟预测（理））若（x，，i为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用复数乘法结合复数相等求出x，y即可求解作答.

【详解】

因，则有，而，有，解得，

所以复数在复平面内所对应的点位于第三象限.

故选：C

4．（2022·广东茂名·二模）已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求出，再由复数的除法运算可得答案.

【详解】

∵复数z在复平面内对应的点为，

∴，，

.

故选：B．

5．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知复数z满足，则（       ）

A． B．3 C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及模的意义求解作答.

【详解】

依题意，，则有，于是得，

所以.

故选：D

1．（2022·山东聊城·三模）若复数z满足，则复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

设，利用共轭复数的定义、复数的加法以及复数相等可求得的方程，解出的值，即可得解.

【详解】

设，则，

因为，则，所以，，解得，

因此，复数的虚部为.

故选：B.

2．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果.

【详解】

复数满足，即

即复数对应的点到点的距离满足

设，表示复数对应的点到点的距离

数形结合可知的最大值

故答案为：

3．（2022·上海·模拟预测）若（i是虚数单位）是关于x的实系数方程的一个复数根，则_________．

【答案】##

【解析】

【分析】

由题知与其共轭复数均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案.

【详解】

∵实系数一元二次方程的一个虚根为，

∴其共轭复数也是方程的根.

由根与系数的关系知，，

∴ ，.

∴

故答案为：

4．（2022·天津·静海一中模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则________

【答案】

【解析】

【分析】

根据复数的乘除运算法则，化简得，进而根据共轭复数得到，根据模长公式即可求解.

【详解】

由得,所以,故.

故答案为:

5．（2022·全国·模拟预测）请写出一个同时满足①；②的复数z，z=______．

【答案】

【解析】

【分析】

设，根据模长公式得出，进而得出.

【详解】

设，由条件①可以得到，两边平方化简可得，故，；

故答案为：

6．（2022·全国·模拟预测）若复数z满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据题意计算出复数，然后根据共轭复数的概念即可得到答案

【详解】

因为，

所以．

故选：B

7．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知是虚数单位，若，则的值是（       ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，得到，结合复数相等的条件，求得的值，即可求解.

【详解】

由复数的运算法则，可得，

因为，即，所以.

故选：D.

8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知复数z满足，则z的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算法则求解即可.

【详解】

由题意知，

所以z的虚部为．

故选C．

9．（2022·河南安阳·模拟预测（理））设，则满足的复数z的个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的运算可得，，即可求出满足题意的解的个数．

【详解】

因为，所以，而，所以当时，；当时，或或；当时，，即满足的复数z的个数为5．

故选：D．

10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设出复数z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.

【详解】

设，因，则，

即，而，则，解得，

所以.

故选：C

11．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））复数z满足，则复数（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出，再由复数运算求出即可.

【详解】

由可得，则，∴．

故选：D.

12．（多选题）（2022·江苏南京·模拟预测）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（       ）

A．

B．当，时，

C．当，时，

D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，，则，可得，，A选项正确；

对于B选项，当，时，，B选项错误；

对于C选项，当，时，，则，C选项正确；

对于D选项，，

取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

13．（2022·上海·位育中学模拟预测）如果复数满足 ， 那么 的最大值是_____.

【答案】5

【解析】

【分析】

设，，根据题干条件得到，，化简得到，根据求出最大值.

【详解】

设，，则，

变形为，两边平方后得到，

两边平方后得到，将代入，

即，故，

则，

当时，取得最大值，最大值为5

故答案为：5

1．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（       ）

A．1 B．5 C．7 D．25

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．

【详解】

由题意有，故．

故选：B．

2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数相等的条件可求.

【详解】

，而为实数，故，

故选：B.

3．（2022·全国·高考真题（理））若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】

故选 ：C

4．（2022·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】

由,得,即

故选:

5．（2022·全国·高考真题（文））若．则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．

【详解】

因为，所以，所以．

故选：D.

6．（2022·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．

【详解】

因为R，，所以，解得：．

故选：A.

7．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.

【详解】

，所以该复数对应的点为，

该点在第一象限，

故选：A.

8．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由题意可得：.

故选：D.

9．（2021·全国·高考真题）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.

【详解】

因为，故，故

故选：C.

10．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.

【详解】

，

.

故选：B.

11．（2021·全国·高考真题（理））设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.

【详解】

设，则，则，

所以，，解得，因此，.

故选：C.

12．（2021·全国·高考真题（文））设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

【详解】

由题意可得：.

故选：C.

13．（2021·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（       ）

A． B．1 C． D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.

【详解】

，

利用复数相等的充分必要条件可得：.

故选：C.

14．（2022·上海·高考真题）已知，则________

【答案】

【解析】

【分析】

直接根据共轭复数的概念得答案.

【详解】

故答案为：.

15．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用复数的除法化简可得结果.

【详解】

.

故答案为：.