考向05 复数（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（原卷版）

考向05  复数

【2022年新高考全国Ⅰ卷】若，则（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法可求，从而可求.

【详解】

由题设有，故，故，

故选：D

【2022年新高考全国II卷】（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法可求.

【详解】

，

故选：D.

1．求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式，则该复数的实部为，虚部为.

2．求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．

3．复数z、复平面上的点及向量相互联系，即．

4．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

5．复数的加减法：在进行复数加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则（实部与实部相加减，虚部与虚部相加减）计算即可．

6．复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．

7．复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．

常用结论：

（1）

（2）.

（3）；

（4） ，，，

1.复数的有关概念

（1）复数的概念：

形如的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部.若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数.

（2）复数相等：且.

（3）共轭复数：与共轭.

（4）复数的模：

向量的模叫做复数的模，记作或，即.

2.复数的几何意义

（1）复数复平面内的点.

（2）复数平面向量.

3.复数的运算

设，则

（1）加法：；

（2）减法：；

（3）乘法：；

（4）除法：.

1．（2022·全国·模拟预测）（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·模拟预测）若复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（2022·青海·模拟预测（理））若（x，，i为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．（2022·广东茂名·二模）已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则（　　）

A． B． C． D．

5．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知复数z满足，则（       ）

A． B．3 C． D．

1．（2022·山东聊城·三模）若复数z满足，则复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.

3．（2022·上海·模拟预测）若（i是虚数单位）是关于x的实系数方程的一个复数根，则_________．

4．（2022·天津·静海一中模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则________

5．（2022·全国·模拟预测）请写出一个同时满足①；②的复数z，z=______．

6．（2022·全国·模拟预测）若复数z满足，则（       ）

A． B． C． D．

7．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知是虚数单位，若，则的值是（       ）

A． B． C． D．1

8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知复数z满足，则z的虚部为（       ）

A． B． C． D．

9．（2022·河南安阳·模拟预测（理））设，则满足的复数z的个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程，则（       ）

A． B． C． D．

11．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））复数z满足，则复数（       ）

A． B． C． D．

12．（多选题）（2022·江苏南京·模拟预测）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（       ）

A．

B．当，时，

C．当，时，

D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

13．（2022·上海·位育中学模拟预测）如果复数满足 ， 那么 的最大值是_____.

1．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（       ）

A．1 B．5 C．7 D．25

2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高考真题（理））若，则（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高考真题（文））若．则（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（       ）

A． B． C． D．

7．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（       ）

A． B． C． D．

9．（2021·全国·高考真题）已知，则（       ）

A． B． C． D．

10．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（       ）

A． B． C． D．

11．（2021·全国·高考真题（理））设，则（       ）

A． B． C． D．

12．（2021·全国·高考真题（文））设，则（       ）

A． B． C． D．

13．（2021·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（       ）

A． B．1 C． D．3

14．（2022·上海·高考真题）已知，则________

15．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．

1．【答案】B

【解析】.

故选：B.

2．【答案】D

【解析】因为，即，故，所以在复平面内所对应的点为，位于第四象限．

故选：D．

3．【答案】C

【解析】因，则有，而，有，解得，

所以复数在复平面内所对应的点位于第三象限.

故选：C

4．【答案】B

【解析】∵复数z在复平面内对应的点为，

∴，，

.

故选：B．

5．【答案】D

【解析】依题意，，则有，于是得，

所以.

故选：D

1．【答案】B

【解析】设，则，

因为，则，所以，，解得，

因此，复数的虚部为.

故选：B.

2．【答案】

【解析】复数满足，即

即复数对应的点到点的距离满足

设，表示复数对应的点到点的距离

数形结合可知的最大值

故答案为：

3．【答案】##

【解析】∵实系数一元二次方程的一个虚根为，

∴其共轭复数也是方程的根.

由根与系数的关系知，，

∴ ，.

∴

故答案为：

4．【答案】

【解析】由得,所以,故.

故答案为:

5．【答案】

【解析】设，由条件①可以得到，两边平方化简可得，故，；

故答案为：

6．【答案】B

【解析】因为，

所以．

故选：B

7．【答案】D

【解析】由复数的运算法则，可得，

因为，即，所以.

故选：D.

8．【答案】C

【解析】由题意知，

所以z的虚部为．

故选C．

9．【答案】D

【解析】因为，所以，而，所以当时，；当时，或或；当时，，即满足的复数z的个数为5．

故选：D．

10．【答案】C

【解析】设，因，则，

即，而，则，解得，

所以.

故选：C

11．【答案】D

【解析】由可得，则，∴．

故选：D.

12．【答案】AC

【解析】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；

对于B选项，当，时，，B选项错误；

对于C选项，当，时，，则，C选项正确；

对于D选项，，

取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.

故选：AC.

13．【答案】5

【解析】设，，则，

变形为，两边平方后得到，

两边平方后得到，将代入，

即，故，

则，

当时，取得最大值，最大值为5

故答案为：5

1．【答案】B

【解析】由题意有，故．

故选：B．

2．【答案】B

【解析】，而为实数，故，

故选：B.

3．【答案】C

【解析】

故选 ：C

4．【答案】A

【解析】

由,得,即

故选:

5．【答案】D

【解析】因为，所以，所以．

故选：D.

6．【答案】A

【解析】因为R，，所以，解得：．

故选：A.

7．【答案】A

【解析】，所以该复数对应的点为，

该点在第一象限，

故选：A.

8．【答案】D

【解析】由题意可得：.

故选：D.

9．【答案】C

【解析】因为，故，故

故选：C.

10．【答案】B

【解析】，

.

故选：B.

11．【答案】C

【解析】设，则，则，

所以，，解得，因此，.

故选：C.

12．【答案】C

【解析】由题意可得：.

故选：C.

13．【答案】C

【解析】，

利用复数相等的充分必要条件可得：.

故选：C.

14．【答案】

【解析】

故答案为：.

15．【答案】

【解析】.

故答案为：.