高中数学高考通用版2020版高考数学大一轮复习第8讲指数与指数函数学案理新人教A版

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第8讲　指数与指数函数


1.根式

n次
方根
概念
如果xn=a,那么x叫作a的　　　　,其中n>1,n∈N* 
性质
当n是　　　　时,a的n次方根为x= na
当n是　　　　时,正数a的n次方根为x=±na,负数的偶次方根　　　　 
0的任何次方根都是0,记作n0=0
根式
概念
式子na叫作　　　　,其中n叫作　　　　,a叫作　　　　 
性质
当n为奇数时,nan=　　　 
当n为偶数时,nan=|a|=　　　 

2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
②正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
③0的正分数指数幂等于　　　　,0的负分数指数幂　　　　. 
(2)有理数指数幂的性质
①aras=　　　　(a>0,r,s∈Q); 
②(ar)s=　　　　(a>0,r,s∈Q); 
③(ab)r=　　　　(a>0,b>0,r∈Q). 

3.指数函数的图像与性质
y=ax(a>0
且a≠1)
a>1
00且a≠1)的图像以x轴为渐近线.


题组一　常识题
1.[教材改编] 若x+x-1=3,则x2-x-2=　　　　. 
2.[教材改编] 已知2x-10且a≠1)的图像恒过定点　　　　. 
4.[教材改编] 下列所给函数中值域为(0,+∞)的是　　　　. 
①y=-5x;②y=131-x;③y=12x-1;④y=1-2x.
题组二　常错题
◆索引:忽略n的范围导致式子nan(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错.
5.计算3(1+2)3+4(1-2)4=　　　　. 
6.若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=　　　　. 
7.若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=　　　　. 
8.函数y=21x-1的值域为　　　　　　　. 

探究点一　指数幂的化简与求值
例1 (1)计算:823--780+4(3-π)4+[(-2)6]12=　　　　. 
(2)已知x12+x-12=5,则x2+x-2-6x+x-1-5的值为　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 指数幂运算的一般原则:
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
变式题 (1)计算:2x-1312x13+x43= (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.2
C.2+x D.1+2x
(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则a-ba+b=　　　　. 
探究点二　指数函数的图像及应用
例2 (1)函数y=xax|x|(a>1)的图像大致是 (　　)

A　　　　　 B　　　　　C　　　　　 D
图2-8-1
(2)[2018·辽阳一模] 设函数f(x)=|2x-1|,x≤2,-x+5,x>2,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是 (　　)
A.(16,32) B.(18,34)
C.(17,35) D.(6,7)
 
 
 
[总结反思] (1)研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,1a.
(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.
(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.
变式题 (1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图像如图2-8-2所示,则函数g(x)=ax+b的图像大致是(　　)

图2-8-2

A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D
图2-8-3
(2)函数f(x)=|ax+b|(a>0,a≠1,b∈R)的图像如图2-8-4所示,则a+b的取值范围是　　　　. 

图2-8-4
探究点三　利用指数函数的性质解决有关问题

微点1　比较指数式的大小
例3 (1)[2018·凯里一中二模] 已知a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.ca
2.【微点1】[2018·河南八市联考] 设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=1a0.1的大小关系是(　　)
A.M=N B.M≤N
C.MN
3.【微点2】当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是 (　　)
A.(0,1)∪(1,+∞)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D.0,12
5.【微点3】已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式1ax+1bx-m≥0,x∈(-∞,1]恒成立,则实数m的取值范围为　　　　. 









第8讲　指数与指数函数
考试说明 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
2.指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景.
(2)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,13的指数函数的图像.
(3)知道指数函数是一类重要的函数模型.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.n次方根　奇数　偶数　没有意义　根式　根指数　被开方数　a　a(a≥0),-a(a1　0b,所以a-ba+b=55.
例2　[思路点拨] (1)化简所给的解析式,然后结合选项进行判断;(2)作出函数图像,结合图像可知2a+2b=2,再分析2c的范围求解.
(1)B　(2)B　[解析] (1)由题意得y=xax|x|=ax,x>0,-ax,x1,∴当x>0时,函数为增函数;当x