高中数学高考通用版2020版高考数学大一轮复习第15讲导数与函数的极值学案理新人教A版

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第15讲　导数与函数的极值、最值


1.函数的极值
(1)函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧　　　　,右侧　　　　,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值. 
(2)函数的极大值:
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧　　　　,右侧　　　　,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值. 
极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则　　　　为函数的最小值,　　　　为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则　　　　为函数的最大值,　　　　为函数的最小值. 
3.实际应用题
理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.

常用结论
导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:
不等式类型
与最值的关系
∀x∈D,f(x)>M
∀x∈D,f(x)min>M
∀x∈D,f(x)M
∃x0∈D,f(x0)0
∀x∈D,f(x)g(x2)max

(续表)
不等式类型
与最值的关系
∀x1∈D1,∃x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)min>g(x2)min
∃x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)max>g(x2)max
∃x1∈D1,∃x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
∀x1∈D1,∀x2∈D2,
f(x1)max>g(x2)min
(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)


题组一　常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为　　　　. 
2.[教材改编] 函数f(x)=x3-12x在区间[-3,3]上的最大值是　　　　. 
3.[教材改编] 当x>0时,ln x,x,ex的大小关系是　　　　　　. 
4.[教材改编] 现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.
5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b=　　　　. 
6.函数g(x)=-x2的极值点是　　　　,函数f(x)=(x-1)3的极值点　　　　(填“存在”或“不存在”). 
7.函数g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是　　　　,在(1,2)上的最小值和最大值均　　　　(填“存在”或“不存在”). 
8.对任意实数x,不等式sin x≤a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　;存在实数x0,使不等式sin x0≤a成立,则实数a的取值范围是　　　　. 


探究点一　利用导数解决函数的极值问题

微点1　由图像判断函数极值
例1 [2018·杭州二中模拟] 如图2-15-1所示,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x).设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是 (　　)

图2-15-1
A.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点
B.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点
C.h'(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点
D.h'(x0)≠0,x=x0不是h(x)的极值点
 
 
 
[总结反思] 可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.
微点2　已知函数求极值
例2 若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)有极大值-1
B.f(x)有极小值-1
C.f(x)有极大值0
D.f(x)有极小值0
 
 
 
[总结反思] 求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.
微点3　已知极值求参数
例3 [2018·江西九校二联] 若函数f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点,则实数a的取值范围是 (　　)
A.0,62 B.1,62
C.-62,62 D.63,1∪1,62

 
 
 
[总结反思] 根据极值求参数的值(或取值范围)就是根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组),通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围).
应用演练
1.【微点1】[2018·河南中原名校质检] 已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图像如图2-15-2所示,则下列叙述正确的是 (　　)
①f(b)>f(a)>f(c);

图2-15-2
②函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值;
③函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值.
A.③
B.①②
C.①③
D.②
2.【微点3】函数f(x)=x2-aln x(a∈R)不存在极值点,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,0]
3.【微点2】[2018·安庆二模] 已知函数f(x)=2ef'(e)ln x-xe(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为(　　)
A.2e-1 B.-1e
C.1 D.2ln 2
4.【微点3】[2018·菏泽模拟] 已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是 (　　)
A.-9,-154 B.-9,-154
C.-154,+∞ D.(-∞,-9)
探究点二　利用导数解决函数的最值问题
例4 已知定义在正实数集上的函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.
(1)若函数g(x)=f(x)-ax2+1,在其定义域上g(x)≤0恒成立,求实数a的最小值;
(2)若a>0时,f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数a的取值范围.
 
 
 
[总结反思] (1)函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值.如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.
(2)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.
变式题 (1)已知a≥1-xx+ln x对任意x∈1e,e恒成立,则a的最小值为 (　　)
A.1 B.e-2 C.1e D.0
(2)[2018·唐山三模] 已知a>0,f(x)=xexex+a,若f(x)的最小值为-1,则a= (　　)
A.1e2 B.1e C.e D.e2
探究点三　利用导数研究生活中的优化问题
例5 [2018·南京四校联考] 如图2-15-3所示,某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着AE,FB修建不锈钢护栏,沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为AD,BC上的动点,EF∥AB,且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米,直线部分的平均修建费用为400元/米.

图2-15-3
(1)若EF=80米,则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?
(2)试确定点E的位置,使得修建费用最低.
 
 
 
 
 
 
[总结反思] (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.
(2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.
变式题 某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,若商品单价降低x(0≤x≤21)元,则一个星期增加的销售量为kx2(k>0)件.已知商品单件降低2元时,一个星期的销售量增加24件.(商品销售利润=商品销售收入-商品销售成本)
(1)将一个星期的商品销售利润f(x)表示成x的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大.
 
 
 
 





第15讲　导数与函数的极值、最值
考试说明 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
2.会利用导数解决某些实际问题.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.(1)f'(x)0　f'(x)0,则关于t的方程2(a+1)t2-2t+a-1=0有两个正根,
可得a-12(a+1)>0,22(a+1)>0,4-8(a-1)(a+1)>0,解得10时,易得f(x)在x=-a3处取得极大值,则有f-a3=4,可得a=3,于是g(x)=x3+(m-3)x+2,则g'(x)=3x2+(m-3).
当m-3≥0时,g'(x)≥0,g(x)在(-3,2)上不存在极小值.
当m-31时,h'(x)0,
则g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,
又g(-1)=1e>0,x→-∞时,g(x)→-∞,所以存在x00,得0φ(2)=-1,则由题意得-m≤-1,即m≥1,
所以实数m的取值范围为[1,+∞).
(2)对g(x)=ex-2-ax+a(x-2)2(x>2)求导,得g'(x)=(x-4)ex-2+ax(x-2)3=x(x-4)ex-2x+a(x-2)3(x>2).
记F(x)=x-4xex-2+a(x>2),
由(1)知F(x)在区间(2,+∞)上单调递增,又F(2)=-1+a0,函数g(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.
所以g(x)在(2,+∞)上有最小值g(x0)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2,
由题设得h(a)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2.
又因为-a=x0-4x0ex0-2,所以h(a)=1x0ex0-2.
令u(x)=1xex-2(20,V是增函数;

当23