高中数学高考宁夏平罗中学2019届高三数学第二次模拟考试试卷理（含解析）

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2019年宁夏石嘴山市平罗中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题1.已知全集，集合2，，则　　A.  B. 5， C. 3， D. 3，5，【答案】B【解析】【分析】可求出集合U，然后进行补集的运算即可．【详解】2，3，4，5，，2，；5，．故选：B．【点睛】本题考查集合的运算，描述法、列举法的定义，二次不等式解集，准确计算是关键，注意 2.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i【答案】B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z= ∴z的共轭复数为1﹣i.故选：B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 3.已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则　　A. 25 B. 7 C. 5 D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，据此确定的模即可.【详解】因为，且向量，的夹角为，所以 ，所以．本题选择D选项.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4.已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为(     ).A. 11 B. 12 C. 20 D. 22【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，故选D。【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。 5.将一长为4，宽为2矩形沿、的中点、连线折成如图所示的几何体，若折叠后，则该几何体的正视图面积为（ ）A. 4 B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】先确定折叠后形状，再确定正视图形状，最后根据矩形面积公式求结果.【详解】由题意知，折叠后为正三角形，该几何体的正视图是一长为4，宽为的矩形，所以矩形的面积为，故选B．【点睛】由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示． 6.若函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为　　A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的最小正周期求出的值，再根据函数图象平移写出函数的解析式．【详解】函数的最小正周期为，，将函数图象向左平移个单位，得函数的图象，则函数．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查三角平移变换，熟记公式，及变换原则是关键，是基础题． 7.执行如图所示的程序框图，输出的结果为　　A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，由于．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 8.函数的部分图象大致是　　A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数值的变化趋势，取特殊值即可判断．【详解】当时，，故排除C，当时，，故排除D，当时，，故排除B，故选：A．【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数值的特点，属于基础题． 9.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形若直角三角形中较小的锐角，现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是　　A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由解三角形得：直角三角形中较小的直角边长为1，由，得此直角三角形另外两直角边长为，进而得小正方形的边长和大正方形的边长，由几何概型中的面积型得解．【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1，则由直角三角形中较小的锐角，得此直角三角形另外直角边长，斜边长，则小正方形边长为，大正方形的边长为，设“飞镖落在阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：，故选：A．【点睛】本题考查几何概型中的面积型，解三角形、正方形面积公式属中档题． 10.已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则双曲线E的离心率为　　A.  B.  C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．【详解】与x轴垂直，，设，则，由双曲线的定义得，即，得，在直角三角形中，，即，即，即，则，则，故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定义是解决本题的关键． 11.若二项式的展开式中第项为常数项，则，应满足（  ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先根据二项展开式得，以及，解得，关系.【详解】由题意，的通项为，当即时，所得项为常数项，其中，所以，应满足，故选A.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 12.已知函数，要使函数 恒成立，则正实数应满足（  ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求导数，根据导函数零点分类讨论函数单调性，根据单调性确定最小值取法，最后根据最小值大于零得结果.【详解】由题意，得（），令，由，得.当时，，此时函数在上单调递增，且时，，，，故，不合题意，舍去；当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，所以 ，要使函数 恒成立，只需，即.故选C.【点睛】不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔. 二、填空题13.某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进行调查，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，则应从高三年级学生中抽取______名学生．【答案】12【解析】【分析】由分层抽样方法，按比例抽样确定高三年级所占比例即可求解．【详解】由分层抽样可得：应从高三年级学生中抽取名学生，故答案为：12【点睛】本题考查了分层抽样方法，确定抽样比例是关键，属简单题． 14.如果实数满足条件，那么的最大值为          【答案】1【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线过点时，z最大是1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 15.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则__．【答案】【解析】【分析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函数，所以 又因为是定义域为的偶函数，所以 即 所以的周期 因为 所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题. 16.四面体中，底面， ， ，则四面体的外接球的表面积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CDAC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.【详解】由题意，可得BCCD，又因为底面，所以ABCD，即CD平面ABC，所以CDAC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径 故外接球的表面积 故答案【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题. 三、解答题17.在中，内角的对边分别为，，．求边；求的值．【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】运用诱导公式和正弦定理可得，求得，再由余弦定理计算可得,由余弦定理计算，再由同角的平方关系可得，运用两角差的正弦公式，计算即可得到所求值．【详解】，，，即为，可得，，，解得；，，可得．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和差的正弦公式，以及同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题． 18.网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题，据某著名网约车公司“滴滴打车”官网显示，截止目前，该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次，梁某即为此类网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、，它们出现的概率依次是、、、、t、．（1）求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；（2）网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过时，租车费为5元，若行驶路程超过，则按每超出（不足也按计程）收费3元计费．依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差．【答案】（1）分布列见解析，；（2）设梁某一天出车一次的收入为Y元，。【解析】分析】（1）根据各个概率的和为1，求出t的值，进而列出分布列。根据均值与方差的计算公式求解。（2）先求得收费Y与行使路程X间的函数关系，进而根据求得均值，根据a2可求得方差。【详解】（1）由概率分布的性质有，所以．∴X的分布列为X202224262830P0.20.30.10.10.2 （写出分布列得4分）∴． （2）由已知设梁某一天出车一次的收入为Y元，则， ∴（元），32．【点睛】本题考查了离散型分布列的求法，均值与方差的简单应用，属于基础题。 19.已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上．求椭圆C的方程；若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)先由题意得出 ,可得出与的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程，可求出与的值，从而得出椭圆的方程；(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，可求出，然后进行检验；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为,设点，先由直线与圆相切得出与之间的关系，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件得出的值，从而求出直线的倾斜角.【详解】（1）由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得，又点在椭圆上，所以，解得，即椭圆的方程为. （2）圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意；当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即. 将直线与椭圆的方程联立，得：，判别式，即，设，则 ，所以，解得， 所以直线的倾斜角为或.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 20.如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1)根据题意，延长交于点，要使得平面；即，然后确定出点E的位置即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后根据二面角的夹角公式求得余弦值即可.【详解】（1）在中，延长交于点，,是等边三角形为的重心  平面, 平面，,即点为线段上靠近点的三等分点  （2）等边中，，，，交线为，   如图以为原点建立空间直角坐标系    点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.设,则，设平面的法向量 ，则即，取，则                         又平面，,                               则 ,又二面角为钝二面角，所以余弦值为 .【点睛】本题主要考查了立体几何，熟练线面之间的平行、垂直的判定定理和性质定理是证明的关键，以及求出平面的法向量是解决第二问的关键，属于中档题. 21.已知函数．求函数的单调区间；若斜率为k的直线与曲线交于，两点，其中求证：．【答案】（1）单调增区间为减区间为（2）详见解析【解析】【分析】令，解得进而得出单调区间．设直线l的方程为：由斜率为k的直线与曲线交于，两点，其中可得，，可得：，要证明，令，即证明：令，利用导数研究其单调性即可证明同理可以证明：．【详解】．令，解得．可得：函数在内单调递减，在上单调递增．故单调增区间为减区间为证明：设直线l的方程为：．由斜率为k的直线与曲线交于，两点，其中．则，，相减可得：，．下面证明：．即，令，即证明：．令，．．函数在上单调递减，．，即成立．下面证明：．即，令，即证明：．令，．．函数在上单调递增，．，即成立．综上可得：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)曲线与直线交于两点，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为： 所以曲线C的极坐标方程： （2）直线的方程为，的参数方程为为参数)， 然后将直线得参数方程代入曲线C的普通方程，化简可得： ， 所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.