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高中数学高考全国通用版2019版高考数学一轮复习第十六单元算法初步复数推理与证明学案文
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这是一份高中数学高考全国通用版2019版高考数学一轮复习第十六单元算法初步复数推理与证明学案文，共75页。
第十六单元 算法初步、复数、推理与证明
教材复习课“算法初步、复数、推理与证明”相关基础知识一课过
算法的三种结构
[过双基]
三种基本逻辑结构
名称
内容
顺序结构
条件结构
循环结构
定 义
由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体
程 序 框 图
1．(2018·成都质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )
A．－ B．0
C. D．336
解析：选C 由框图知输出的结果
s＝sin＋sin＋…＋sin，
因为函数y＝sinx的周期是6，
所以s＝336＋sin＋sin＝336×0＋＋＝.
2．执行如图所示的程序框图．若输出y＝－，则输入的角θ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 由输出y＝－<0，排除A、C，又当θ＝－时，输出y＝－，故选D.
3．执行如图所示的程序框图，已知输出的s∈[0,4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n－m的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由程序框图得s＝作出s的图象如图所示．若输入的t∈[m，n]，输出的s∈[0,4]，则由图象得n－m的最大值为4.
4．某程序框图如图所示，若输出的p值为31，则判断框内应填入的条件是( )
A．n>2? B．n>3?
C．n>4? D．n>5?
解析：选B 运行程序：p＝1，n＝0；n＝1，p＝2；n＝2，p＝6；n＝3，p＝15；n＝4，p＝31，根据题意，此时满足条件，输出p＝31，即n＝3时不满足条件，n＝4时满足条件，故选B.
[清易错]
1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a＝________.
解析：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝1＋＋＋…＋
＝1＋1－＋－＋…＋－
＝2－.
若该程序运行后输出的值是，
则2－＝， 解得a＝3.
答案：3
复数的基本运算
[过双基]
1．复数的有关概念
名称
内容
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为，虚部为
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝
(c＋di≠0)．
1．(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝( )
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
解析：选D ∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，
∴＝＝－i.
2．若复数z满足(1＋i)z＝|＋i|，则在复平面内，对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 由题意，得z＝＝＝1－i，所以＝1＋i，其在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．
3．复数(i为虚数单位)实部与虚部的和为( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
解析：选A 因为＝＝1＋i，所以复数(i为虚数单位)实部与虚部的和为2.
4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.
解析：∵＝＝＝＝2－i，
∴z＝2＋i.
答案：2＋i
[清易错]
1．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
2．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
1．已知∈R，且m∈R，则|m＋6i|＝( )
A．6 B．8
C．8 D．10
解析：选D ＝＝，
因为复数∈R，故m＝8，
所以|m＋6i|＝|8＋6i|＝10.
2．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝______.
解析：＝＝－1＋2i，
由＝a＋bi，得－1＋2i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝2，
∴a＋b＝1.
答案：1
合情推理与演绎推理
[过双基]
1．合情推理
类型
定义
特点
归纳
推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比
推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
2．演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
1．已知和都是无理数，试证：＋也是无理数，某同学运用演绎推理证明如下：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．这个同学证明是错误的，错误原因是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．以上都可能
解析：选A 大前提：无理数与无理数之和是无理数，错误；
小前提：和都是无理数，正确；
结论：＋也是无理数，正确，
故只有大前提错误．
2.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与x轴，直线y＝h(h＞0)及渐近线y＝x所围成的阴影部分(如图)绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为________．
解析：由题意可知，该几何体的横截面是一个圆环，设圆环的外半径与内半径分别为R，r，
其面积S＝π(R2－r2)．
∵－＝1⇒R2＝a2＋y2，
同理：r2＝y2，
∴R2－r2＝a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积，为πa2h.
答案：πa2h
3．有如下等式：
以此类推，则2 018出现在第________个等式中．
解析：①2＋4＝6；
②8＋10＋12＝14＋16；
③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，
……
其规律为：各等式首项分别为2×1,2×(1＋3)，2×(1＋3＋5)，…，
所以第n个等式的首项为2[1＋3＋…＋(2n－1)]＝2×＝2n2,
当n＝31时，等式的首项为2×312＝1 922,
当n＝32时，等式的首项为2×322＝2 048,
所以2 018在第31个等式中．
答案：31
证明方法
[过双基]
1．直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
实质
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
文字语言
因为……，所以……
或由……，得……
要证……，只需证……，即证……
2．间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．
(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
(2)用反证法证明的一般步骤：
①反设——假设命题的结论不成立；
②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；
③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
1．(2018·成都一模)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：选D a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：选D 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
3．下列命题适合用反证法证明的是________．(填序号)
①已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；
②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，
求证：和中至少有一个小于2；
③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；
④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．
解析：①是“否定”型命题，②是“至少”型命题，③是“唯一”型命题，且命题中条件较少，④中条件较少，不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．
答案：①②③④
一、选择题
1．若z＝i(3－2i)(其中i为复数单位)，则＝( )
A．3－2i B．3＋2i
C．2＋3i D．2－3i
解析：选D 由z＝i(3－2i)＝2＋3i，得＝2－3i.
2．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝在复平面上对应的点在y轴上，则a为( )
A．－3 B．－
C. D．3
解析：选A ∵z＝＝＝，
又复数z＝在复平面上对应的点在y轴上，
∴解得a＝－3.
3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：选C
⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0
⇔(a－c)(a－b)>0.
4．[ ]表示不超过 的最大整数．
若S1＝[ ]＋[ ]＋[ ]＝3，
S2＝[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝10，
S3＝[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝21，
……
则Sn＝( )
A．n(n＋2) B．n(n＋3)
C．(n＋1)2－1 D．n(2n＋1)
解析：选D 观察得到：Sn是从开始到(不含)之前共2n＋1个n的和，所以Sn为n(2n＋1)．
即[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)．
5．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C 运行该程序，k＝0，s＝1，k<3；
k＝0＋1＝1，s＝＝2，k<3；
k＝1＋1＝2，s＝＝，k<3；
k＝1＋2＝3，s＝＝，此时不满足循环条件，输出s，故输出的s值为.
6．若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )
A．dn＝
B．dn＝
C．dn＝
D．dn＝
解析：选D 因为数列{an}是等差数列，所以bn＝＝a1＋(n－1)·(d为等差数列{an}的公差)，{bn}也为等差数列，因为正项数列{cn}是等比数列，设公比为q，则dn＝＝＝c1q，所以{dn}也是等比数列．
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内应填的内容是( )
A．n<98? B．n<99?
C．n<100? D．n<101?
解析：选B 由＝＝－，
可知程序框图的功能是计算并输出S＝＋＋…＋＝＝的值．
由题意令＝，解得n＝99,
即当n<99时，执行循环体，若不满足此条件，则退出循环，输出S的值．
8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )
A．(7,5) B．(5,7)
C．(2,10) D．(10,1)
解：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．
二、填空题
9．M＝＋＋＋…＋与1的大小关系为__________．
解析：因为M＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
<＋＋＋…＋＝1，
所以M<1.
答案：M<1
10．若复数z＝(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a＝________.
解析：因为复数z＝＝＝1－ai，
所以－a＝1，即a＝－1.
答案：－1
11．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝________.
解析：a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2.
答案：2
12．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
解析：∵f(21)＝，f(22)＞2＝，
f(23)＞，f(24)＞，
∴归纳得f(2n)≥(n∈N*)．
答案：f(2n)≥(n∈N*)
三、解答题
13．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，
求证：＋＜＋.
证明：要证＋＜＋，
只需证(＋)2＜(＋)2，
即证a＋d＋2＜b＋c＋2，
因为a＋d＝b＋c，所以只需证＜，即证ad＜bc，
设a＋d＝b＋c＝t，
则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，
故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．
14．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)由已知得
所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)，得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，
则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
因为p，q，r∈N*，所以
所以2＝pr，(p－r)2＝0.
所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
高考研究课(一)
算法与程序框图考查2类型——推结果、填条件
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
循环结构
5年10考
循环结构程序框图的输出功能及应用
程序框图补条件
5年1考
补全满足框图的条件
程序框图的推结果问题
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
A．0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
[解析] (1)运行程序框图，
a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；
S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；
S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；
S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；
S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；
S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；
S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝3.
(2)当输入x＝7时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x成立，故a＝1，输出a的值为1.
当输入x＝9时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为0.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
解决程序框图推结果问题要注意几个常用变量
(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.
(2)累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i.
(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.
[即时演练]
1．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )
A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
解析：选C 输入x＝0，y＝1，n＝1，
运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；
运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；
运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，
输出x＝，y＝6.由于点在直线y＝4x上，故选C.
2．执行如图所示的程序框图，输出的s是________．
解析：第一次循环：i＝1，s＝1；第二次循环：i＝2，s＝－1；第三次循环：i＝3，s＝2；第四次循环：i＝4，s＝－2，此时i＝5，执行s＝3×(－2)＝－6，故输出s＝－6.
答案：－6
程序框图的补全及逆向求解问题
[典例] (1)《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为( )
A．4 B．5
C．7 D．11
(2)一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件为( )
A．i≤9? B．i≤6?
C．i≥9? D．i≤8?
[解析] (1)起始阶段有m＝2a－3，i＝1,
第一次循环：m＝2×(2a－3)－3＝4a－9，i＝2,
第二次循环：m＝2×(4a－9)－3＝8a－21，i＝3,
第三次循环：m＝2×(8a－21)－3＝16a－45，i＝4,
第四次循环：m＝2×(16a－45)－3＝32a－93,
跳出循环，输出m＝32a－93＝35，解得a＝4.
(2)由＝及题意知，该程序框图的功能是计算S＝1－＋－＋…＋－＋－＝－＋的值，由S＝，得i＝9.
故空白处应填入的条件为：i≤9.
[答案] (1)A (2)A
[方法技巧]
程序框图的补全及逆向求解问题
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．
[即时演练]
1．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为16，则判断框内可填入的条件是( )
A．S<？ B．S>？
C．S>？ D．S<？
解析：选D 运行程序：k＝10，S＝1；S＝，k＝11；S＝，k＝12；S＝，k＝13；S＝，k＝14；S＝，k＝15；S＝＝，k＝16，此时不满足条件，循环结束，输出k＝16，所以判断框内可填入条件是S<？.
2．运行如图所示的程序框图，若输出的y值的范围是[0,10]，则输入的x值的范围是________．
解析：该程序的功能是计算分段函数的值，
y＝
当x＜－1时，由0≤3－x≤10，可得－7≤x＜－1；
当－1≤x≤1时，0≤x2≤10成立；
当x＞1时，由0≤x＋1≤10，可得1＜x≤9，
综上，输入的x值的范围是[－7,9]．
答案：[－7,9]
1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )
A．A>1 000和n＝n＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
解析：选D 程序框图中A＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n，所以判断框中应填入A≤1 000，由于初始值n＝0，要求满足A＝3n－2n>1 000的最小偶数，故执行框中应填入n＝n＋2.
2．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选D 执行程序框图，S＝0＋100＝100，M＝－10，t＝2；S＝100－10＝90，M＝1，t＝3，S<91，输出S，此时，t＝3不满足t≤N，所以输入的正整数N的最小值为2.
3．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
A．7 B．12
C．17 D．34
解析：选C 第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；
第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；
第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，
结束循环，s＝17.
4.(2016·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，
n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，
s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，
n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，
s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，
退出循环，输出n＝4.故选B.
5.(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
6．(2014·全国卷Ⅰ)执行如图所示程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 第一次循环：M＝，a＝2，b＝，n＝2；
第二次循环：M＝，a＝，b＝，n＝3；
第三次循环：M＝，a＝，b＝，n＝4.
则输出M＝.
7．(2014·全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D 执行循环体，
第一次循环，M＝2，S＝5，k＝2；
第二次循环，M＝2，S＝7，k＝3.
故输出的S＝7.
一、选择题
1．(2017·山东高考)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )
A．x＞3 B．x＞4
C．x≤4 D．x≤5
解析：选B 当x＝4时，若执行“是”，则y＝4＋2＝6，与题意矛盾；若执行“否”，则y＝log24＝2，满足题意，故应执行“否”．故判断框中的条件可能为x＞4.
2．执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2，则输出的b的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．4
解析：选A 第一次循环，a＝，b＝1，i＝2；第二次循环，a＝－1，b＝－2，i＝3；第三次循环，a＝2，b＝4，i＝4；第四次循环，a＝，b＝1，i＝5；……；由此可知b的值以3为周期出现，且当i＝2 019时退出循环，此时共循环2 018次，又2 018＝3×672＋2，所以输出的b的值为－2.
3．某班有50名学生，在一次数学考试中，an表示学号为n的学生的成绩，则执行如图所示的程序框图，下列结论正确的是( )
A．P表示成绩不高于60分的人数
B．Q表示成绩低于80分的人数
C．R表示成绩高于80分的人数
D．Q表示成绩不低于60分，且低于80分的人数
解析：选D P表示成绩低于60分的人数，Q表示成绩低于80分且不低于60分的人数，R表示成绩不低于80分的人数．
4．(2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 第一次循环，24能被3整除，N＝＝8>3；
第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；
第三次循环，7不能被3整除，N＝7－1＝6>3；
第四次循环，6能被3整除，N＝＝2<3，结束循环，
故输出N的值为2.
5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A．3 B．－6
C．10 D．－15
解析：选D 第一次执行程序，得到S＝0－12＝－1，i＝2；
第二次执行程序，得到S＝－1＋22＝3，i＝3；
第三次执行程序，得到S＝3－32＝－6，i＝4；
第四次执行程序，得到S＝－6＋42＝10，i＝5；
第五次执行程序，得到S＝10－52＝－15，i＝6，
结束循环，输出的S＝－15.
6．某校为了了解高三学生日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位学生进行调查．下表是这50位同学睡眠时间的频率分布表：
组别(i)
睡眠时间
组中值(Zi)
频数
频率(Pi)
1
[4.5,5.5)
5
2
0.04
2
[5.5,6.5)
6
6
0.12
3
[6.5,7.5)
7
20
0.40
4
[7.5,8.5)
8
18
0.36
5
[8.5,9.5)
9
3
0.06
6
[9.5,10.5)
10
1
0.02
现根据如下程序框图用计算机统计平均睡眠时间，则判断框①中应填入的条件是( )
A．i＞4? B．i＞5?
C．i＞6? D．i＞7?
解析：选B 根据题目中程序框图，用计算机统计平均睡眠时间，总共执行6次循环，则判断框①中应填入的条件是i>5(或i≥6？)．
7．下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出y的值为3，那么应输入x＝( )
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：选B 该程序的作用是计算分段函数y＝的函数值，
由题意，若x＞6，则当y＝3时，x－3＝3，解得x＝6，舍去；
若x≤2，则当y＝3时，5－x＝3，解得x＝2，
故输入的x值为2.
8．给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3，…，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )
A．i≤30？；p＝p＋i－1
B．i≤29？；p＝p＋i＋1
C．i≤31？；p＝p＋i
D．i≤30？；p＝p＋i
解析：选D 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故①中应填写“i≤30？”．又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，故②中应填p＝p＋i.
二、填空题
9．(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．
解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y＝所以当输入的x的值为时，y＝2＋log2＝2－4＝－2.
答案：－2
10．按下列程序框图来计算：
如果输入的x＝5，则应该运算________次才停止．
解析：由题意，该程序按如下步骤运行：
经过第一次循环得到x＝3×5－2＝13，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第二次循环得到x＝3×13－2＝37，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第三次循环得到x＝3×37－2＝109，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第四次循环得到x＝3×109－2＝325，因为325＞200，结束循环并输出x的值
因此，运算进行了4次后，输出x值而程序停止．故答案为4.
答案：4
11．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，该算法的程序框图如图所示. 执行该程序框图，若输入的x＝3，n＝3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数(从最小质数开始)，直到结束为止，则输出的s＝________.
解析：运行程序：
x＝3，n＝3，k＝0，s＝0；a＝2，s＝2，k＝1；a＝3，s＝9，k＝2；a＝5，s＝32，k＝3；a＝7，s＝103，k＝4，此时满足条件，循环结束，输出s＝103.
答案：103
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a＝________.
解析：运行程序，可得a＝10，i＝1，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝5，i＝2，不满足i≥5，满足a是奇数，a＝16，i＝3，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝8，i＝4，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝4，i＝5，满足i≥5，退出循环，输出a的值为4.
答案：4
13．已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．
解析：第一次循环结束时，n＝2，x＝3，y＝1；
第二次循环结束时，n＝4，x＝9，y＝3；
第三次循环结束时，n＝6，x＝27，y＝3.
此时满足n>4，
结束循环，输出logyx＝log327＝3.
答案：3
14．(2018·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝________.
解析：第一次循环，得S＝2；第二次循环，得n＝2，a＝，A＝2，S＝；第三次循环，得n＝3，a＝，A＝4，S＝；第四次循环，得n＝4，a＝，A＝8，S＝>10，结束循环，输出的n＝4.
答案：4
1．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是( )
图1
图2
A．6 B．7 C．10 D．16
解析：选C 由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，
所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，
因此输出结果为10.
2．如果执行程序框图，如果输出的S＝2 550，则判断框内应填入的条件是( )
A．k≤50? B．k≥51?
C．k＜50? D．k＞51?
解析：选A 根据题中的程序框图，可得
该程序经过第一次循环得到S＝2，k＝2；
经过第二次循环得到S＝2＋4，k＝3；
经过第三次循环得到S＝2＋4＋6，k＝4；
……
设经过第n次循环得到2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＝2 550，
解得n＝50，
由此说明，当n＞50时不满足判断框中的条件，则正好输出S＝2 550，
∴判断框应填入的条件是k≤50？.
高考研究课(二)
数系的扩充与复数的引入的命题3角度——概念、运算、意义
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
复数的有关概念
5年4考
虚部、模等有关概念与运算结合考查
复数的几何意义
5年2考
与运算结合考查几何意义
复数的运算
5年6考
考查乘法、除法、幂的运算
复数的有关概念
[典例] (1)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)已知复数z满足＝|2－i|，则z的共轭复数对应的点位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)若复数 z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2
C. D.
[解析] (1)∵复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.
(2)∵＝|2－i|＝，∴z＝＋i，
则z的共轭复数－i对应的点(，－)位于复平面内的第四象限.
(3)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，由复数相等的条件得解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故|z|＝＝.
法二：由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝＝.
[答案] (1)D (2)D (3)C
[方法技巧]
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
[即时演练]
1．(2017·山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
解析：选A 法一：由题意可知＝a－i，
∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
2．若复数(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位)，则复数z＝a＋(a－3)i在复平面内对应的点位于第________象限．
解析：∵＝＝＝＋i是纯虚数，
∴解得a＝2.
∴z＝2－i，在复平面内对应的点(2，－1)位于第四象限．
答案：四
3．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
∴∴或
∴a2＋b2＝5，ab＝2.
答案：5 2
复数的代数运算
[典例] (1)i为虚数单位，则2 018＝( )
A．－i B．－1
C．i D．1
(2)(2017·全国卷Ⅱ)＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
(3)(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( )
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
[解析] (1)∵＝＝＝－i，
∴2 018＝(－i)2 018
＝(－i)2 016·(－i)2＝－1.
(2)＝＝＝2－i.
(3)(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.
[答案] (1)B (2)D (3)B
[方法技巧]
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
[提醒] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
[即时演练]
1．设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选A ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
解析：∵z＝＝
＝
＝
＝＝－＋i，
故＝－－i，
∴z·＝＝＋＝.
答案：
3．已知i是虚数单位，2 018＋6＝________.
解析：原式＝1 009＋6＝1 009＋i6＝i1 009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.
答案：－1＋i
复数的几何意义
[典例] (1)已知复数z＝a＋i(a∈R)．若|z|<，则z＋i2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析] (1)因为复数z＝a＋i(a∈R)．若|z|<，则<，解得－1＜a＜1，所以z＋i2＝a－1＋i在复平面内对应的点(a－1,1)位于第二象限.
(2)复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
其在复平面内对应的点(a＋1,1－a)在第二象限，
故解得a＜－1.
[答案] (1)B (2)B
[方法技巧]
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[即时演练]
1.如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
A．1＋3i
B．－3－i
C．3－i
D．3＋i
解析：选D 由图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.
2．若z＝(a－2)＋(a＋1)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．
解析：∵z＝(a－2)＋(a＋1)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴解得－1＜a＜2.
即实数a的取值范围是(－1,2).
答案：(－1,2)
1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：选B 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，
∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，
∴p3不是真命题；
对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，
∴p4是真命题．
2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．
3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝.
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A 由题意知即－3
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：选C 因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.
6．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选A 由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1.
7．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B ∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴解得a＝0.
一、选择题
1．(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
解析：选A ∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
2．(2018·沈阳质量监测)已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 因为＝1＋i，其在复平面内对应的点(1,1)在第一象限．
3．已知复数z满足z＝＋a为纯虚数，则|z|＝( )
A. B．2
C. D.
解析：选C ∵z＝＋a＝为纯虚数，
∴＝0，≠0，解得a＝，
∴z＝i，∴|z|＝.
4．设复数z满足(1＋i)z＝－2i，i为虚数单位，则z＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
解析：选B z＝＝＝－i－1.
5．已知i是虚数单位，复数z满足(1－i)z＝i，则|z|＝( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B ∵z＝＝＝－＋i，
∴|z|＝ ＝.
6．(2018·遵义模拟)复数z＝4i2 018－(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C z＝4i2 018－＝4×i2 016·i2－＝－4－＝－6－i，故z在复平面内对应的点在第三象限．
7．已知复数z＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是( )
A．θ＝ B．θ＝
C．θ＝ D．θ＝
解析：选C z＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z是纯虚数等价于等价于θ＝＋kπ，k∈Z.故选C.
8．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，
所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，
又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝－，故选D.
二、填空题
9．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解析：由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－2.
答案：－2
10．定义运算＝ad－bc，复数z满足＝1＋i，为z的共轭复数，则＝________.
解析：∵复数z满足＝zi－i＝1＋i，
∴z＝＝＝2－i，∴＝2＋i.
答案：2＋i
11．(2017·江苏高考)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
解析：法一：复数z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，
则|z|＝＝.
法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝×＝.
答案：
12．(2018·山东实验中学诊断)在复平面内，复数对应的点到直线y＝x＋1的距离是________．
解析：因为＝＝1＋i，所以复数对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x＋1的距离为＝.
答案：
三、解答题
13．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
解：(1)＝＝－1－3i.
(2)＝＝＝＝＋i.
(3)＋＝＋＝＋＝－1.
(4)＝
＝＝
＝－－i.
14．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z·＋(1－2i)·z＋(1＋2i)·＝3，求复数z在复平面内对应的点的轨迹．
解：∵z＝x＋yi(x，y∈R)且z· ＋(1－2i)·z＋(1＋2i)· ＝3.
∴x2＋y2＋(1－2i)(x＋yi)＋(1＋2i)(x－yi)＝3，
即x2＋y2＋x＋2y＋yi－2xi＋x＋2y－yi＋2xi＝3，
∴x2＋y2＋2x＋4y－3＝0，
即(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.
∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(－1，－2)为圆心，以2为半径的圆．
1．已知t∈R，若复数z＝(i为虚数单位)为纯虚数，则|＋ti|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选A ∵z＝＝＝＋i为纯虚数，
∴＝0，≠0，
解得t＝1.
则|＋ti|＝|＋i|＝ ＝2.
2．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足复数x＋yi的实部大于虚部的概率为________．
解析：∵试验发生所包含的事件是甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子，所得点数分别为x，y，得到复数x＋yi共有36个，
满足条件的事件是复数x＋yi的实部大于虚部，
当实部是2时，虚部是1；
当实部是3时，虚部是1,2；
当实部是4时，虚部是1,2,3；
当实部是5时，虚部是1,2,3,4；
当实部是6时，虚部是1,2,3,4,5，
共有15个，
故实部大于虚部的概率是＝.
答案：
高考研究课(三)
推理3方法——类比、归纳、演绎
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
推理判断
5年3考
推理判断问题
类比推理
[典例] (1)若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，m，n，p是互不相等的正整数，有________________．
(2)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
[解析] (1)等差数列的三项之和类比等比数列的三项之积，等差数列中(m－n)ap类比等比数列中的b，因此有b·b·b＝1.
(2)类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.
[答案] (1)b·b·b＝1
(2)－＝1
[方法技巧]
类比推理的分类及处理方法
类别
解读
适合题型
类比
定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解
已知熟悉定义类比新定义
类比
性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键
平面几何与立体几何、等差数列与等比数列
类比
方法
有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移
已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法
[即时演练]
1．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则 ＝( )
A．3 B.
C．6 D．2
解析：选A 令 ＝m(m>0)，
则两边平方得，则3＋2＝m2,
即3＋2m＝m2，解得m＝3或m＝－1(舍去)．
2．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
归纳推理
[典例] (1)在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
(2)(2016·山东高考)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
[解析] (1)由题意知当实心圈的个数为n时，其前面(算上本身)共有(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝＋n个圆圈，
故n(n＋3)≤200，解得n的最大值为12，故前100个圈中实心圈共有12个.
(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．
[答案] (1)10 n(n＋1)(n＋2) (2)n(n＋1)
[方法技巧]
归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点，找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性
[即时演练]
1．观察下列等式：
12＝1；
12－22＝－3；
12－22＋32＝6；
12－22＋32－42＝－10；
……
照此规律，第n个等式为________________．
解析：观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
2．已知结论“a1，a2∈R＋，且a1＋a2＝1，则＋≥4；若a1，a2，a3∈R＋，且a1＋a2＋a3＝1，则＋＋≥9”，请猜想若a1，a2，…，an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，则＋＋…＋≥________.
解析：由题意知，结论左端各项分别是和为1的各数ai的倒数(i＝1,2，…，n),
右端n＝2时为4＝22，n＝3时为9＝32,
故ai∈R＋，a1＋a2＋…＋an＝1时，结论为＋＋…＋≥n2(n≥2).
答案：n2
演绎推理
[典例] 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
[证明] (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
[方法技巧]
演绎推理的推理过程中的2个注意点
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
[即时演练]
已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．
证明：设x1，x2∈R，取x1
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
∵x1
∴y＝f(x)为R上的单调增函数．
1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
2．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析：选B 法一：取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，
③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B.
法二：若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C，故选B.
3．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；
若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．
故甲的卡片上的数字是1和3.
法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.
答案：1和3
4．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①②③④
解析：选A 根据题意，依次分析4个推理：
对于①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；
对于②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；
对于③，不是合情推理，
对于④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是①②④.
2．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形．由①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( )
A．正方形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．以上均不正确
解析：选C 由演绎推理三段论可得，
“平行四边形的对角线相等”为大前提，
“正方形是平行四边形”为小前提，
则结论为“正方形的对角线相等”．
3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )
A．731 B．809
C．852 D．891
解析：选B 由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，
则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，
所以这个数是2×405－1＝809.
4．某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是( )
A．小赵、小谭 B．小马、小宋
C．小马、小谭 D．小赵、小宋
解析：选A 小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，
如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；
小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，
否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；
小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；
小谭说：“小赵说的对”，是假话；
这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，
且“迟到之星”是小赵和小谭．
5．将正整数排列如下：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
则图中数2 018出现在( )
A．第44行第83列 B．第45行第83列
C．第44行第82列 D．第45行第82列
解析：选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.
6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(n)＝( )
A．3n2－3n＋1 B．3n2－3n＋2
C．3n2－3n D．3n2－3n－1
解析：选A 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，
f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，
f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，
f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…
因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝3×12－3×1＋1＝1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.
7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．
1 2 3 4 5 … 2 015 2 016 2 017 2 018
3 5 7 9 ………… 4 031 4 033 4 035
8 12 16 ……………… 8 064 8 068
20 28 …………………… 16 132
………………………………
该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )
A．2 019×22 015 B．2 019×22 016
C．2 018×22 017 D．2 018×22 016
解析：选B 当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；
当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；
当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；
当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；
归纳推理得，当第一行为2 018个数时，最后一行仅一个数，为2 019×22 016.
8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )
A．S2＝S＋S＋S
B．S2＝＋＋
C．S＝S1＋S2＋S3
D．S＝＋＋
解析：选A 如图，作OD⊥ BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2
＝S＋S＋S.
二、填空题
9．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：由题意知，凸函数满足
≤f，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.
答案：
10．(2018·湛江一模)如图，已知点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1则＋＋＝1，类比猜想：点O是空间四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则有____________．
解析：猜想：若O为四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则＋＋＋＝1.用等体积法证明如下：＋＋＋＝＋＋＋＝1.
答案：＋＋＋＝1
11．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；
(ⅱ)女学生人数多于教师人数；
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，
则z＜y＜x＜2z.
①若教师人数为4，则4＜y＜x＜8，
当x＝7时，y取得最大值6.
②当z＝1时，1＝z＜y＜x＜2，不满足条件；
当z＝2时，2＝z＜y＜x＜4，不满足条件；
当z＝3时，3＝z＜y＜x＜6，y＝4，x＝5，满足条件．
所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.
答案：6 12
12．观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋＜________.
解析：由1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
1＋＋＋＋<，
……
1＋＋＋＋…＋<.
故1＋＋＋…＋<.
答案：
三、解答题
13．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
证明：∵△ABC为锐角三角形，
∴A＋B＞，∴A＞－B，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin A＞sin＝cos B，
同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A，
∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
1．为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”“书法社”“汉服社”，还满足如下条件：
(1)甲同学没有加入“楹联社”；
(2)乙同学没有加入“汉服社”；
(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；
(4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级；
(5)乙同学不在高三年级．
则甲同学所在的社团是( )
A．楹联社 B．书法社
C．汉服社 D．条件不足无法判断
解析：选C 假设乙在高一，则由(4)知乙加入“汉服社”，与(2)矛盾，
结合(5)知，乙在高二年级．根据(3)，可得乙加入“书法社”．
根据(1)可知甲同学没有加入“楹联社”，
可得甲同学所在的社团是汉服社.
2．已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C ∵13＋23＝32＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，
……
∴13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝.
∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，
∴＝3 025，∴n2(n＋1)2＝(2×55)2，
∴n(n＋1)＝110，解得n＝10.
高考研究课(四)
证明3方法 ——综合法、分析法、反证法 [全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
直接证明与间接证明
5年6考
综合法、分析法、反证法证明问题
分析法
[典例] 已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.
[证明] a⊥b⇔a·b＝0，要证≤.
只需证|a|＋|b|≤ |a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
[方法技巧]
分析法证明问题的思路与适用范围
(1)分析法的思路：
“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“要证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．
(2)分析法证明问题的适用范围：
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
[即时演练]
已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
即证＋＝3也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC的三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立.
综合法
综合法证明问题是历年高考的热点问题，也是必考问题之一．通常在解答题中出现．
常见的命题角度有：
(1)立体几何证明题；
(2)数列证明题；
(3)与函数、方程、不等式结合的证明题．
角度一：立体几何证明题
1.如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，EF∥BC，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
角度二：数列证明题
2．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.
(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；
(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2.解：(1)因为函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，
所以令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)·f(1)，
所以f(n＋1)＝f(n)·f(1)．
又因为f(1)＝，所以＝，
所以f(n)＝n(n∈N*)．
(2)证明：由(1)得an＝n·n，
设Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，则
Tn＝1×＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1＋n×n，①
所以Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－2)n－1＋(n－1)×n＋n×n＋1，②
所以由①－②得
Tn＝＋2＋3＋…＋n－1＋n－n·n＋1＝－n·n＋1＝1－n－n·n＋1＝1－，
所以Tn＝2－<2，
即a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an<2.
角度三：与函数、方程、不等式结合的证明题
3．已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤g(x)．
解：(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，
由题意得
解得a＝0，b＝1.
(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)
＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x＞－1)．
则h′(x)＝－x2＋x－1＝.
所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．
故h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．
[方法技巧]
综合法证题的思路
反证法
[典例] 设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
[解] (1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
[方法技巧]
反证法证明问题的3步骤
(1)反设：
假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)
(2)归谬：
将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)
(3)立论：
因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
[即时演练]
已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，
求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
得a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3＞0，
即a＋b＋c＞0，与a＋b＋c≤0矛盾，
∴a，b，c中至少有一个大于0.
1．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＜0时，证明f(x)≤－－2.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a＜0，则当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明：由(1)知，当a＜0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－.
所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.
设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.
当x∈(0,1)时，g′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.
所以当x＞0时，g(x)≤0.
从而当a＜0时，ln＋＋1≤0，
即f(x)≤－－2.
3．(2013·北京高考节选)给定数列a1，a2，…，an，对i＝1,2,3，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.
(1)设数列{an}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；
(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；
解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.
(2)证明：因为a1>0，公比q>1，
所以a1，a2，…，an是递增数列．
因此，对i＝1,2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.
于是对i＝1,2，…，n－1，
di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.
因此di≠0且＝q(i＝1,2，…，n－2)，
即d1，d2，…，dn－1是等比数列．
一、选择题
1．设x＝，y＝－，z＝－，则x，y，z的大小关系是( )
A．x>y>z B．z>x>y
C．y>z>x D．x>z>y
解析：选D 由题意知x，y，z都是正数，又x2－z2＝2－(8－4)＝4－6＝－>0，∴x>z.
∵＝＝>1，∴z>y，∴x>z>y.
2．对于定义域为D的函数y＝f(x)和常数c，若对任意正实数ξ，∃x0∈D，使得0<|f(x0)－c|<ξ恒成立，则称函数y＝f(x)为“敛c函数”．现给出如下函数：
①f(x)＝x(x∈Z)；②f(x)＝x＋1(x∈Z)；
③f(x)＝log2x；④f(x)＝.
其中为“敛1函数”的有( )
A．①② B．③④
C．②③④ D．①②③
解析：选C 由题意知，函数f(x)为“敛1函数”等价于存在x0属于f(x)的定义域，使得f(x0)无限接近于1.对于①，f(x)＝x(x∈Z)，当x＝1时，f(x)＝1，当x≠1时，|f(x)－1|≥1，故①中函数不是“敛1函数”；对于②③④中函数，作出函数图象，结合“敛1函数”的定义易知它们都是“敛1函数”．故选C.
3．(2018·大连一模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)
4．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：选A 因为≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，故f≤f()≤f.
5．设n∈N，则－与－的大小关系是( )
A.－>－
B.－<－
C.－＝－
D．不能确定
解析：选B 由题意知，(－)－(－)＝(＋)－ (＋)，
因为(＋)2－(＋)2
＝2[－]
＝2(－)<0，
所以－<－.
6．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a＋，b＋，c＋三个数( )
A．都大于6 B．至少有一个不大于6
C．都小于6 D．至少有一个不小于6
解析：选D 设a＋，b＋，c＋都小于6，
则a＋＋b＋＋c＋＜18,
利用基本不等式，可得a＋＋b＋＋c＋≥2 ＋2 ＋2 ＝8＋4＋6＝18，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
所以a＋，b＋，c＋三个数至少有一个不小于6.
二、填空题
7．(2018·太原模拟)用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设____________________．
解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．
答案：x≠－1且x≠1
8．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是________．
解析：法一：(补集法)
令解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的范围为.
法二：(直接法)
依题意有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
得－
答案：
9．(2018·德州一模)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是________三角形．
解析：由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由得
那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为π相矛盾．
所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．
所以△A2B2C2是钝角三角形．
答案：钝角
三、解答题
10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：＋＋＞3.
证明：因为a，b，c为不全相等的正数，
所以＋＋
＝＋＋＋＋＋－3
＞2 ＋2 ＋2 －3＝3，
即＋＋＞3.
11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，
(1)计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)证明(1)中的猜想．
解：(1)在数列{an}中，∵a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，
∴a1＝2＝，a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，
∴猜想这个数列的通项公式是an＝.
(2)证明：∵an＋1＝，
∴＝＝1＋，∴－＝1.
∵a1＝2，∴＝，
∴是以为首项，1为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)×1＝，∴an＝.
12．已知函数f(x)＝x3－ax在x＝1处取得极小值，其中a是实数．
(1)求实数a的值；
(2)用反证法证明：当x＞0时，－，中至少有一个不小于.
解：(1)∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a，
∵函数f(x)＝x3－ax在x＝1处取得极小值，
∴f′(1)＝0，即3－a＝0，
∴a＝3.
(2)证明：假设－，都小于，
即
∴
∴＋<2，
即x＋<2，当x＞0时，x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，
∴假设不成立，
∴－，中至少有一个不小于.
1.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i(i＝1,2,3,4)次，每次转动90°，记Ti(i＝1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1＝x1y2＋x2y3＋x3y4＋x4y1.若x1＋x2＋x3＋x4＜0，y1＋y2＋y3＋y4＜0，则以下结论正确的是( )
A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数
B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数
C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数
D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数
解析：选A 因为x1＋x2＋x3＋x4＜0，y1＋y2＋y3＋y4＜0，所以(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)>0，即x1y1＋x1y2＋x1y3＋x1y4＋ x2y1＋x2y2＋x2y3＋x2y4＋x3y1＋x3y2＋x3y3＋x3y4＋x4y1＋x4y2＋x4y3＋x4y4>0，即T1＋T2＋T3＋T4>0，即T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数．选A.
2．设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2.
(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋x；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明．
解：(1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，
则Fn(1)＝n－1＞0，
Fn＝1＋＋2＋…＋n－2
＝－2＝－＜0，
所以Fn(x)在内至少存在一个零点．
又F′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，
故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.
因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，
即－2＝0，故xn＝＋x.
(2)由题设，gn(x)＝.
设h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－，x＞0.
当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．
当x≠1时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－.
若0＜x＜1，h′(x)＞xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－·xn－1＝xn－1－xn－1＝0.
若x＞1，h′(x)＜xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－·xn－1＝xn－1－xn－1＝0.
所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，
所以h(x)＜h(1)＝0，即fn(x)＜gn(x)．
综上所述，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；
当x≠1时，fn(x)＜gn(x)．
阶段滚动检测(五)检测范围：第一单元至第十九单元(对应配套卷P357)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在复平面内，设z＝a＋2i(i是虚数单位)，若复数z2对应的点位于虚轴的正半轴上，则实数a的值为( )
A．0 B．2
C．－2 D．2或－2
解析：选B 因为z＝a＋2i，
所以z2＝a2－4＋4ai.
因为复数z2对应的点位于虚轴的正半轴上，
所以所以a＝2.
2．设U＝R，集合M＝{x|x2＋x－2>0}，N＝x2x－1≤，则(∁UM)∩N＝( )
A．[－2,0] B．[－2,1]
C．[0,1] D．[0,2]
解析：选A 由题意可得∁UM＝[－2,1]，N＝(－∞，0]，故(∁UM)∩N＝[－2,0]．
3．已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝log2|x|，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为( )
解析：选B f(x)，g(x)均为偶函数，则F(x)也为偶函数，由此排除A，D.当x>2时，－x2＋2<0，log2|x|>0，所以F(x)<0，排除C，故选B.
4．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学
成绩
95
75
80
94
92
65
67
84
98
71
67
93
64
78
77
90
57
83
72
83
物理
成绩
90
63
72
87
91
71
58
82
93
81
77
82
48
85
69
91
61
84
78
86
若数学成绩90分(含90分)以上为优秀，物理成绩85(含85分)以上为优秀．参照公式，得到的正确结论是( )
附：K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．有99.5%以上的把握认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”
B．没有99.5%以上的把握认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“学生的数学成绩与物理成绩无关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”
解析：选A 根据题意可得2×2列联表：
物理优秀
物理不优秀
总计
数学优秀
5
1
6
数学不优秀
2
12
14
总计
7
13
20
则K2＝≈8.802>7.879，因此有99.5%把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系．
5．已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若数列{an}与{Sn＋2}都是公比为q的等比数列，则q的值为( )
A. B．1
C. D．2
解析：选C 根据题意可得：＝q，即＝q，解得q＝.
6．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说课，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为.
7．执行如图所示程序框图，输出i的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选C 由图可得s＝0＋ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln－ln i＝ln(i＋1)，当i＝7时，s＝ln 8>2，此时输出的i＝8.
8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选B 由题意可知，n>4时，5n的末四位数字以T＝4为周期，又因为2 018＝4×503＋6，所以52 018的末四位数字与56的末四位数字相同，即为5 625.
9．已知集合M＝，N＝，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为＝.
10．如图， 网格纸上的小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为( )
A．4＋6π B．8＋6π
C．4＋12π D．8＋12π
解析：选B 由三视图可知，该几何体是组合体，下面是一个底面半径为2，高为3的圆柱的一半，上面是一个高为2，底面是一个边长为3,4的矩形的四棱锥，所以该几何体的体积V＝×π×22×3＋×4×3×2＝8＋6π.
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|－|MF2|＝2b，该双曲线的离心率为e，则e2＝( )
A．2 B.
C. D.
解析：选D 由题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，联立得即点M(a，b)，
则|MF1|－|MF2|＝－＝2b，
即－＝2，
－＝2，
化简得，e4－e2－1＝0，解得e2＝.
12．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，函数g(x)满足g′(x)＝f′(x)＋2f(x)，其中f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)和g(x)的导函数，若函数g(x)在[－1,1]上是单调函数，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1] B.
C．(1，＋∞) D.
解析：选B 因为f′(x)＝，
所以g′(x)＝f′(x)＋2f(x)＝.
因为函数g(x)在[－1,1]上是单调函数，
所以g′(x)≥0或g′(x)≤0.
当a＝0时，g′(x)>0，满足题意；
因为ex>0，所以当a<0时， 只需ax2＋2ax＋1≥0在[－1,1]上成立即可，所以a＋2a＋1≥0，则－≤a<0；
当a>0时，只需ax2＋2ax＋1≥0在[－1,1]上成立，所以a－2a＋1≥0，则0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1 800，则该批次产品总数为________．
解析：设该批次产品总数为n，根据分层抽样法的性质可得＝，解得n＝4 800.
答案：4 800
14．已知几何体O ABCD的底面ABCD是边长为的正方形，且该几何体体积的最大值为，则该几何体外接球的表面积为________．
解析：因为该几何体体积的最大值为，所以点O到平面ABCD的距离h＝，根据球的性质可得R2＝2＋2，所以R＝，因此该几何体外接球的表面积S＝4πR2＝8π.
答案：8π
15．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
m
10.5
11
销售量y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________.
解析：＝＝8＋，＝＝6＋，回归直线一定经过样本点中心(，)，即6＋＝－3.2＋40，即3.2m＋n＝42.
又因为m＋n＝20，即解得故n＝10.
答案：10
16．设x，y满足约束条件若目标函数z＝2x－y＋2a＋b(a>0，b>0)的最大值为3，则＋的最小值为________．
解析：
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数z与直线在y轴上的截距的关系可知，当目标函数z＝2x－y＋2a＋b(a>0，b>0)过点A(1,0)时取得最大值3，即2a＋b＝1，则＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当＝，即b＝2a＝2－时，＋取得最小值3＋2.
答案：3＋2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，A＝，求△ABC的面积．
解：(1)∵2bsin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C，
由正弦定理得，2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，
化简得，a2＋c2－b2＋ac＝0.
∴cos B＝＝＝－.
∵0
(2)∵A＝，∴C＝π－－＝.
∴sin C＝sin＝sincos－cossin＝.
∵b＝，B＝，
∴由正弦定理得c＝＝.
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×××＝.
18．(本小题满分12分)某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛(NEPCS)”，先在本校进行初赛(满分150分)，若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；
(2)该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率．
解：(1)设初赛成绩的中位数为x，则(0.001＋0.004＋0.009)×20＋0.02×(x－70)＝0.5，
解得x＝81，
所以初赛成绩的中位数为81.
(2)由题意知，该校学生的初赛分数在[110,130)的有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130,150)的有2人，分别记为a，b，则在6人中随机选取3人，总的事件有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，D)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(A，a，b)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(B，a，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，(C，a，b)，(D，a，b)，共20个基本事件，选取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的基本事件有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)共4个．
故选取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率为P＝＝.
19．(本小题满分12分)如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，且AB＝BE＝AF＝1，BE∥AF，AB⊥AF，∠CBA＝，BC＝，P为DF的中点．
(1)求证：PE∥平面ABCD；
(2)求三棱锥ABCE的体积．
解：(1)证明：
取AD的中点M，连接MP，MB，
∵P为DF的中点，
∴MP綊AF.
又BE綊AF，∴BE綊MP，
∴四边形BEPM是平行四边形，
∴PE∥MB.
又PE⊄平面ABCD，MB⊂平面ABCD.
∴PE∥平面ABCD.
(2)在△ABC中，由余弦定理可得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠CBA＝1＋()2－2×1××cos ＝1，∴AC＝1，∴AC2＋AB2＝BC2，
∴AC⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
∴AC⊥平面ABEF.
∵S△ABE＝BE·AB＝×1×1＝，
∴VABCE＝VCABE＝S△ABE×AC＝××1＝.
20．(本小题满分12分)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：
价格x(元/kg)
10
15
20
25
30
日需求量y(kg)
11
10
8
6
5
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，当价格x＝40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
＝，＝－ .
解：(1)由所给数据计算得
＝(10＋15＋20＋25＋30)＝20，
＝(11＋10＋8＋6＋5)＝8，
(xi－)2＝(－10)2＋(－5)2＋02＋52＋102＝250，
(xi－)(yi－)＝－10×3＋(－5)×2＋0×0＋5×(－2)＋10×(－3)＝－80，
＝＝＝－0.32.
＝－ ＝8＋0.32×20＝14.4.
故所求线性回归方程为＝－0.32x＋14.4.
(2)由(1)知当x＝40时，＝－0.32×40＋14.4＝1.6.
故当价格x＝40元/kg时，日需求量y的预测值为1.6 kg.
21．(本小题满分12分)(2018·昆明三中、玉溪一中统考)如图，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心
率为，且过点(2，)，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，kAC·kBD＝－.
(1)求·的取值范围；
(2)求证：四边形ABCD的面积为定值．
解：(1)由题意知得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2·＋km·＋m2＝.
∵kOA·kOB＝－⇒·＝－，
∴＝－·⇒m2＝4k2＋2.
·＝x1x2＋y1y2＝＋＝
＝2－，
∴－2≤·＜2，当k＝0时，·＝－2，
当k不存在，即AB⊥x轴时，·＝2，
∴·的取值范围是[－2,2]．
(2)证明：由题意知SABCD＝4S△AOB.
∵S△AOB＝···＝2＝2，∴SABCD＝8.
即四边形ABCD的面积为定值．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－ex＋1，a∈R.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤0在x∈R上恒成立，求实数a的值；
(3)当a＝1时，对任意的0
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0，得xln a，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，单调递减区间为(ln a，＋∞)．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，而f(0)＝0，
∴f(x)≤0在R上不可能恒成立；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递增，在(ln a，＋∞)上单调递减，
f(x)max＝f(ln a)＝aln a－a＋1.
令g(a)＝aln a－a＋1，
依题意有g(a)≤0，而g′(a)＝ln a，且a>0，
∴g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(a)min＝g(1)＝0，故a＝1.
(3)证明：由(2)知：a＝1时，f(ln x)＝ln x－x＋1≤0恒成立，所以有ln x≤x－1(x>0)．
则＝＝－1<－1＝－1，
又由ln x≤x－1知－ln x≥1－x在(0，＋∞)上恒成立，
∴＝－1＝－1>－1＝－1.
综上所述：对任意的0
第十六单元 算法初步、复数、推理与证明
教材复习课“算法初步、复数、推理与证明”相关基础知识一课过
算法的三种结构
[过双基]
三种基本逻辑结构
名称
内容
顺序结构
条件结构
循环结构
定 义
由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体
程 序 框 图
1．(2018·成都质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )
A．－ B．0
C. D．336
解析：选C 由框图知输出的结果
s＝sin＋sin＋…＋sin，
因为函数y＝sinx的周期是6，
所以s＝336＋sin＋sin＝336×0＋＋＝.
2．执行如图所示的程序框图．若输出y＝－，则输入的角θ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 由输出y＝－<0，排除A、C，又当θ＝－时，输出y＝－，故选D.
3．执行如图所示的程序框图，已知输出的s∈[0,4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n－m的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由程序框图得s＝作出s的图象如图所示．若输入的t∈[m，n]，输出的s∈[0,4]，则由图象得n－m的最大值为4.
4．某程序框图如图所示，若输出的p值为31，则判断框内应填入的条件是( )
A．n>2? B．n>3?
C．n>4? D．n>5?
解析：选B 运行程序：p＝1，n＝0；n＝1，p＝2；n＝2，p＝6；n＝3，p＝15；n＝4，p＝31，根据题意，此时满足条件，输出p＝31，即n＝3时不满足条件，n＝4时满足条件，故选B.
[清易错]
1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a＝________.
解析：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝1＋＋＋…＋
＝1＋1－＋－＋…＋－
＝2－.
若该程序运行后输出的值是，
则2－＝， 解得a＝3.
答案：3
复数的基本运算
[过双基]
1．复数的有关概念
名称
内容
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为，虚部为
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝
(c＋di≠0)．
1．(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝( )
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
解析：选D ∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，
∴＝＝－i.
2．若复数z满足(1＋i)z＝|＋i|，则在复平面内，对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 由题意，得z＝＝＝1－i，所以＝1＋i，其在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．
3．复数(i为虚数单位)实部与虚部的和为( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
解析：选A 因为＝＝1＋i，所以复数(i为虚数单位)实部与虚部的和为2.
4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.
解析：∵＝＝＝＝2－i，
∴z＝2＋i.
答案：2＋i
[清易错]
1．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
2．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
1．已知∈R，且m∈R，则|m＋6i|＝( )
A．6 B．8
C．8 D．10
解析：选D ＝＝，
因为复数∈R，故m＝8，
所以|m＋6i|＝|8＋6i|＝10.
2．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝______.
解析：＝＝－1＋2i，
由＝a＋bi，得－1＋2i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝2，
∴a＋b＝1.
答案：1
合情推理与演绎推理
[过双基]
1．合情推理
类型
定义
特点
归纳
推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比
推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
2．演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
1．已知和都是无理数，试证：＋也是无理数，某同学运用演绎推理证明如下：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．这个同学证明是错误的，错误原因是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．以上都可能
解析：选A 大前提：无理数与无理数之和是无理数，错误；
小前提：和都是无理数，正确；
结论：＋也是无理数，正确，
故只有大前提错误．
2.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与x轴，直线y＝h(h＞0)及渐近线y＝x所围成的阴影部分(如图)绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为________．
解析：由题意可知，该几何体的横截面是一个圆环，设圆环的外半径与内半径分别为R，r，
其面积S＝π(R2－r2)．
∵－＝1⇒R2＝a2＋y2，
同理：r2＝y2，
∴R2－r2＝a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积，为πa2h.
答案：πa2h
3．有如下等式：
以此类推，则2 018出现在第________个等式中．
解析：①2＋4＝6；
②8＋10＋12＝14＋16；
③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，
……
其规律为：各等式首项分别为2×1,2×(1＋3)，2×(1＋3＋5)，…，
所以第n个等式的首项为2[1＋3＋…＋(2n－1)]＝2×＝2n2,
当n＝31时，等式的首项为2×312＝1 922,
当n＝32时，等式的首项为2×322＝2 048,
所以2 018在第31个等式中．
答案：31
证明方法
[过双基]
1．直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
实质
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
文字语言
因为……，所以……
或由……，得……
要证……，只需证……，即证……
2．间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．
(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
(2)用反证法证明的一般步骤：
①反设——假设命题的结论不成立；
②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；
③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
1．(2018·成都一模)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：选D a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：选D 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
3．下列命题适合用反证法证明的是________．(填序号)
①已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；
②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，
求证：和中至少有一个小于2；
③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；
④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．
解析：①是“否定”型命题，②是“至少”型命题，③是“唯一”型命题，且命题中条件较少，④中条件较少，不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．
答案：①②③④
一、选择题
1．若z＝i(3－2i)(其中i为复数单位)，则＝( )
A．3－2i B．3＋2i
C．2＋3i D．2－3i
解析：选D 由z＝i(3－2i)＝2＋3i，得＝2－3i.
2．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝在复平面上对应的点在y轴上，则a为( )
A．－3 B．－
C. D．3
解析：选A ∵z＝＝＝，
又复数z＝在复平面上对应的点在y轴上，
∴解得a＝－3.
3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：选C
⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0
⇔(a－c)(a－b)>0.
4．[ ]表示不超过 的最大整数．
若S1＝[ ]＋[ ]＋[ ]＝3，
S2＝[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝10，
S3＝[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝21，
……
则Sn＝( )
A．n(n＋2) B．n(n＋3)
C．(n＋1)2－1 D．n(2n＋1)
解析：选D 观察得到：Sn是从开始到(不含)之前共2n＋1个n的和，所以Sn为n(2n＋1)．
即[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)．
5．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C 运行该程序，k＝0，s＝1，k<3；
k＝0＋1＝1，s＝＝2，k<3；
k＝1＋1＝2，s＝＝，k<3；
k＝1＋2＝3，s＝＝，此时不满足循环条件，输出s，故输出的s值为.
6．若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )
A．dn＝
B．dn＝
C．dn＝
D．dn＝
解析：选D 因为数列{an}是等差数列，所以bn＝＝a1＋(n－1)·(d为等差数列{an}的公差)，{bn}也为等差数列，因为正项数列{cn}是等比数列，设公比为q，则dn＝＝＝c1q，所以{dn}也是等比数列．
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内应填的内容是( )
A．n<98? B．n<99?
C．n<100? D．n<101?
解析：选B 由＝＝－，
可知程序框图的功能是计算并输出S＝＋＋…＋＝＝的值．
由题意令＝，解得n＝99,
即当n<99时，执行循环体，若不满足此条件，则退出循环，输出S的值．
8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )
A．(7,5) B．(5,7)
C．(2,10) D．(10,1)
解：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．
二、填空题
9．M＝＋＋＋…＋与1的大小关系为__________．
解析：因为M＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
<＋＋＋…＋＝1，
所以M<1.
答案：M<1
10．若复数z＝(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a＝________.
解析：因为复数z＝＝＝1－ai，
所以－a＝1，即a＝－1.
答案：－1
11．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝________.
解析：a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2.
答案：2
12．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
解析：∵f(21)＝，f(22)＞2＝，
f(23)＞，f(24)＞，
∴归纳得f(2n)≥(n∈N*)．
答案：f(2n)≥(n∈N*)
三、解答题
13．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，
求证：＋＜＋.
证明：要证＋＜＋，
只需证(＋)2＜(＋)2，
即证a＋d＋2＜b＋c＋2，
因为a＋d＝b＋c，所以只需证＜，即证ad＜bc，
设a＋d＝b＋c＝t，
则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，
故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．
14．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)由已知得
所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)，得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，
则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
因为p，q，r∈N*，所以
所以2＝pr，(p－r)2＝0.
所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
高考研究课(一)
算法与程序框图考查2类型——推结果、填条件
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
循环结构
5年10考
循环结构程序框图的输出功能及应用
程序框图补条件
5年1考
补全满足框图的条件
程序框图的推结果问题
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
A．0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
[解析] (1)运行程序框图，
a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；
S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；
S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；
S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；
S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；
S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；
S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝3.
(2)当输入x＝7时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x成立，故a＝1，输出a的值为1.
当输入x＝9时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为0.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
解决程序框图推结果问题要注意几个常用变量
(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.
(2)累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i.
(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.
[即时演练]
1．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )
A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
解析：选C 输入x＝0，y＝1，n＝1，
运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；
运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；
运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，
输出x＝，y＝6.由于点在直线y＝4x上，故选C.
2．执行如图所示的程序框图，输出的s是________．
解析：第一次循环：i＝1，s＝1；第二次循环：i＝2，s＝－1；第三次循环：i＝3，s＝2；第四次循环：i＝4，s＝－2，此时i＝5，执行s＝3×(－2)＝－6，故输出s＝－6.
答案：－6
程序框图的补全及逆向求解问题
[典例] (1)《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为( )
A．4 B．5
C．7 D．11
(2)一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件为( )
A．i≤9? B．i≤6?
C．i≥9? D．i≤8?
[解析] (1)起始阶段有m＝2a－3，i＝1,
第一次循环：m＝2×(2a－3)－3＝4a－9，i＝2,
第二次循环：m＝2×(4a－9)－3＝8a－21，i＝3,
第三次循环：m＝2×(8a－21)－3＝16a－45，i＝4,
第四次循环：m＝2×(16a－45)－3＝32a－93,
跳出循环，输出m＝32a－93＝35，解得a＝4.
(2)由＝及题意知，该程序框图的功能是计算S＝1－＋－＋…＋－＋－＝－＋的值，由S＝，得i＝9.
故空白处应填入的条件为：i≤9.
[答案] (1)A (2)A
[方法技巧]
程序框图的补全及逆向求解问题
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．
[即时演练]
1．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为16，则判断框内可填入的条件是( )
A．S<？ B．S>？
C．S>？ D．S<？
解析：选D 运行程序：k＝10，S＝1；S＝，k＝11；S＝，k＝12；S＝，k＝13；S＝，k＝14；S＝，k＝15；S＝＝，k＝16，此时不满足条件，循环结束，输出k＝16，所以判断框内可填入条件是S<？.
2．运行如图所示的程序框图，若输出的y值的范围是[0,10]，则输入的x值的范围是________．
解析：该程序的功能是计算分段函数的值，
y＝
当x＜－1时，由0≤3－x≤10，可得－7≤x＜－1；
当－1≤x≤1时，0≤x2≤10成立；
当x＞1时，由0≤x＋1≤10，可得1＜x≤9，
综上，输入的x值的范围是[－7,9]．
答案：[－7,9]
1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )
A．A>1 000和n＝n＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
解析：选D 程序框图中A＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n，所以判断框中应填入A≤1 000，由于初始值n＝0，要求满足A＝3n－2n>1 000的最小偶数，故执行框中应填入n＝n＋2.
2．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选D 执行程序框图，S＝0＋100＝100，M＝－10，t＝2；S＝100－10＝90，M＝1，t＝3，S<91，输出S，此时，t＝3不满足t≤N，所以输入的正整数N的最小值为2.
3．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
A．7 B．12
C．17 D．34
解析：选C 第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；
第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；
第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，
结束循环，s＝17.
4.(2016·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，
n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，
s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，
n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，
s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，
退出循环，输出n＝4.故选B.
5.(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
6．(2014·全国卷Ⅰ)执行如图所示程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 第一次循环：M＝，a＝2，b＝，n＝2；
第二次循环：M＝，a＝，b＝，n＝3；
第三次循环：M＝，a＝，b＝，n＝4.
则输出M＝.
7．(2014·全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D 执行循环体，
第一次循环，M＝2，S＝5，k＝2；
第二次循环，M＝2，S＝7，k＝3.
故输出的S＝7.
一、选择题
1．(2017·山东高考)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )
A．x＞3 B．x＞4
C．x≤4 D．x≤5
解析：选B 当x＝4时，若执行“是”，则y＝4＋2＝6，与题意矛盾；若执行“否”，则y＝log24＝2，满足题意，故应执行“否”．故判断框中的条件可能为x＞4.
2．执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2，则输出的b的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．4
解析：选A 第一次循环，a＝，b＝1，i＝2；第二次循环，a＝－1，b＝－2，i＝3；第三次循环，a＝2，b＝4，i＝4；第四次循环，a＝，b＝1，i＝5；……；由此可知b的值以3为周期出现，且当i＝2 019时退出循环，此时共循环2 018次，又2 018＝3×672＋2，所以输出的b的值为－2.
3．某班有50名学生，在一次数学考试中，an表示学号为n的学生的成绩，则执行如图所示的程序框图，下列结论正确的是( )
A．P表示成绩不高于60分的人数
B．Q表示成绩低于80分的人数
C．R表示成绩高于80分的人数
D．Q表示成绩不低于60分，且低于80分的人数
解析：选D P表示成绩低于60分的人数，Q表示成绩低于80分且不低于60分的人数，R表示成绩不低于80分的人数．
4．(2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 第一次循环，24能被3整除，N＝＝8>3；
第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；
第三次循环，7不能被3整除，N＝7－1＝6>3；
第四次循环，6能被3整除，N＝＝2<3，结束循环，
故输出N的值为2.
5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A．3 B．－6
C．10 D．－15
解析：选D 第一次执行程序，得到S＝0－12＝－1，i＝2；
第二次执行程序，得到S＝－1＋22＝3，i＝3；
第三次执行程序，得到S＝3－32＝－6，i＝4；
第四次执行程序，得到S＝－6＋42＝10，i＝5；
第五次执行程序，得到S＝10－52＝－15，i＝6，
结束循环，输出的S＝－15.
6．某校为了了解高三学生日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位学生进行调查．下表是这50位同学睡眠时间的频率分布表：
组别(i)
睡眠时间
组中值(Zi)
频数
频率(Pi)
1
[4.5,5.5)
5
2
0.04
2
[5.5,6.5)
6
6
0.12
3
[6.5,7.5)
7
20
0.40
4
[7.5,8.5)
8
18
0.36
5
[8.5,9.5)
9
3
0.06
6
[9.5,10.5)
10
1
0.02
现根据如下程序框图用计算机统计平均睡眠时间，则判断框①中应填入的条件是( )
A．i＞4? B．i＞5?
C．i＞6? D．i＞7?
解析：选B 根据题目中程序框图，用计算机统计平均睡眠时间，总共执行6次循环，则判断框①中应填入的条件是i>5(或i≥6？)．
7．下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出y的值为3，那么应输入x＝( )
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：选B 该程序的作用是计算分段函数y＝的函数值，
由题意，若x＞6，则当y＝3时，x－3＝3，解得x＝6，舍去；
若x≤2，则当y＝3时，5－x＝3，解得x＝2，
故输入的x值为2.
8．给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3，…，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )
A．i≤30？；p＝p＋i－1
B．i≤29？；p＝p＋i＋1
C．i≤31？；p＝p＋i
D．i≤30？；p＝p＋i
解析：选D 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故①中应填写“i≤30？”．又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，故②中应填p＝p＋i.
二、填空题
9．(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．
解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y＝所以当输入的x的值为时，y＝2＋log2＝2－4＝－2.
答案：－2
10．按下列程序框图来计算：
如果输入的x＝5，则应该运算________次才停止．
解析：由题意，该程序按如下步骤运行：
经过第一次循环得到x＝3×5－2＝13，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第二次循环得到x＝3×13－2＝37，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第三次循环得到x＝3×37－2＝109，不满足x＞200，进入下一步循环；
经过第四次循环得到x＝3×109－2＝325，因为325＞200，结束循环并输出x的值
因此，运算进行了4次后，输出x值而程序停止．故答案为4.
答案：4
11．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，该算法的程序框图如图所示. 执行该程序框图，若输入的x＝3，n＝3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数(从最小质数开始)，直到结束为止，则输出的s＝________.
解析：运行程序：
x＝3，n＝3，k＝0，s＝0；a＝2，s＝2，k＝1；a＝3，s＝9，k＝2；a＝5，s＝32，k＝3；a＝7，s＝103，k＝4，此时满足条件，循环结束，输出s＝103.
答案：103
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a＝________.
解析：运行程序，可得a＝10，i＝1，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝5，i＝2，不满足i≥5，满足a是奇数，a＝16，i＝3，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝8，i＝4，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝4，i＝5，满足i≥5，退出循环，输出a的值为4.
答案：4
13．已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．
解析：第一次循环结束时，n＝2，x＝3，y＝1；
第二次循环结束时，n＝4，x＝9，y＝3；
第三次循环结束时，n＝6，x＝27，y＝3.
此时满足n>4，
结束循环，输出logyx＝log327＝3.
答案：3
14．(2018·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝________.
解析：第一次循环，得S＝2；第二次循环，得n＝2，a＝，A＝2，S＝；第三次循环，得n＝3，a＝，A＝4，S＝；第四次循环，得n＝4，a＝，A＝8，S＝>10，结束循环，输出的n＝4.
答案：4
1．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是( )
图1
图2
A．6 B．7 C．10 D．16
解析：选C 由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，
所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，
因此输出结果为10.
2．如果执行程序框图，如果输出的S＝2 550，则判断框内应填入的条件是( )
A．k≤50? B．k≥51?
C．k＜50? D．k＞51?
解析：选A 根据题中的程序框图，可得
该程序经过第一次循环得到S＝2，k＝2；
经过第二次循环得到S＝2＋4，k＝3；
经过第三次循环得到S＝2＋4＋6，k＝4；
……
设经过第n次循环得到2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＝2 550，
解得n＝50，
由此说明，当n＞50时不满足判断框中的条件，则正好输出S＝2 550，
∴判断框应填入的条件是k≤50？.
高考研究课(二)
数系的扩充与复数的引入的命题3角度——概念、运算、意义
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
复数的有关概念
5年4考
虚部、模等有关概念与运算结合考查
复数的几何意义
5年2考
与运算结合考查几何意义
复数的运算
5年6考
考查乘法、除法、幂的运算
复数的有关概念
[典例] (1)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)已知复数z满足＝|2－i|，则z的共轭复数对应的点位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)若复数 z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2
C. D.
[解析] (1)∵复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.
(2)∵＝|2－i|＝，∴z＝＋i，
则z的共轭复数－i对应的点(，－)位于复平面内的第四象限.
(3)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，由复数相等的条件得解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故|z|＝＝.
法二：由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝＝.
[答案] (1)D (2)D (3)C
[方法技巧]
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
[即时演练]
1．(2017·山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
解析：选A 法一：由题意可知＝a－i，
∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
2．若复数(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位)，则复数z＝a＋(a－3)i在复平面内对应的点位于第________象限．
解析：∵＝＝＝＋i是纯虚数，
∴解得a＝2.
∴z＝2－i，在复平面内对应的点(2，－1)位于第四象限．
答案：四
3．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
∴∴或
∴a2＋b2＝5，ab＝2.
答案：5 2
复数的代数运算
[典例] (1)i为虚数单位，则2 018＝( )
A．－i B．－1
C．i D．1
(2)(2017·全国卷Ⅱ)＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
(3)(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( )
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
[解析] (1)∵＝＝＝－i，
∴2 018＝(－i)2 018
＝(－i)2 016·(－i)2＝－1.
(2)＝＝＝2－i.
(3)(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.
[答案] (1)B (2)D (3)B
[方法技巧]
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
[提醒] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
[即时演练]
1．设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选A ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
解析：∵z＝＝
＝
＝
＝＝－＋i，
故＝－－i，
∴z·＝＝＋＝.
答案：
3．已知i是虚数单位，2 018＋6＝________.
解析：原式＝1 009＋6＝1 009＋i6＝i1 009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.
答案：－1＋i
复数的几何意义
[典例] (1)已知复数z＝a＋i(a∈R)．若|z|<，则z＋i2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析] (1)因为复数z＝a＋i(a∈R)．若|z|<，则<，解得－1＜a＜1，所以z＋i2＝a－1＋i在复平面内对应的点(a－1,1)位于第二象限.
(2)复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
其在复平面内对应的点(a＋1,1－a)在第二象限，
故解得a＜－1.
[答案] (1)B (2)B
[方法技巧]
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[即时演练]
1.如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
A．1＋3i
B．－3－i
C．3－i
D．3＋i
解析：选D 由图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.
2．若z＝(a－2)＋(a＋1)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．
解析：∵z＝(a－2)＋(a＋1)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴解得－1＜a＜2.
即实数a的取值范围是(－1,2).
答案：(－1,2)
1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：选B 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，
∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，
∴p3不是真命题；
对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，
∴p4是真命题．
2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．
3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝.
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A 由题意知即－3
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：选C 因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.
6．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选A 由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1.
7．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B ∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴解得a＝0.
一、选择题
1．(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
解析：选A ∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
2．(2018·沈阳质量监测)已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 因为＝1＋i，其在复平面内对应的点(1,1)在第一象限．
3．已知复数z满足z＝＋a为纯虚数，则|z|＝( )
A. B．2
C. D.
解析：选C ∵z＝＋a＝为纯虚数，
∴＝0，≠0，解得a＝，
∴z＝i，∴|z|＝.
4．设复数z满足(1＋i)z＝－2i，i为虚数单位，则z＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
解析：选B z＝＝＝－i－1.
5．已知i是虚数单位，复数z满足(1－i)z＝i，则|z|＝( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B ∵z＝＝＝－＋i，
∴|z|＝ ＝.
6．(2018·遵义模拟)复数z＝4i2 018－(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C z＝4i2 018－＝4×i2 016·i2－＝－4－＝－6－i，故z在复平面内对应的点在第三象限．
7．已知复数z＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是( )
A．θ＝ B．θ＝
C．θ＝ D．θ＝
解析：选C z＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z是纯虚数等价于等价于θ＝＋kπ，k∈Z.故选C.
8．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，
所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，
又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝－，故选D.
二、填空题
9．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解析：由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－2.
答案：－2
10．定义运算＝ad－bc，复数z满足＝1＋i，为z的共轭复数，则＝________.
解析：∵复数z满足＝zi－i＝1＋i，
∴z＝＝＝2－i，∴＝2＋i.
答案：2＋i
11．(2017·江苏高考)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
解析：法一：复数z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，
则|z|＝＝.
法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝×＝.
答案：
12．(2018·山东实验中学诊断)在复平面内，复数对应的点到直线y＝x＋1的距离是________．
解析：因为＝＝1＋i，所以复数对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x＋1的距离为＝.
答案：
三、解答题
13．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
解：(1)＝＝－1－3i.
(2)＝＝＝＝＋i.
(3)＋＝＋＝＋＝－1.
(4)＝
＝＝
＝－－i.
14．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z·＋(1－2i)·z＋(1＋2i)·＝3，求复数z在复平面内对应的点的轨迹．
解：∵z＝x＋yi(x，y∈R)且z· ＋(1－2i)·z＋(1＋2i)· ＝3.
∴x2＋y2＋(1－2i)(x＋yi)＋(1＋2i)(x－yi)＝3，
即x2＋y2＋x＋2y＋yi－2xi＋x＋2y－yi＋2xi＝3，
∴x2＋y2＋2x＋4y－3＝0，
即(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.
∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(－1，－2)为圆心，以2为半径的圆．
1．已知t∈R，若复数z＝(i为虚数单位)为纯虚数，则|＋ti|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选A ∵z＝＝＝＋i为纯虚数，
∴＝0，≠0，
解得t＝1.
则|＋ti|＝|＋i|＝ ＝2.
2．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足复数x＋yi的实部大于虚部的概率为________．
解析：∵试验发生所包含的事件是甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子，所得点数分别为x，y，得到复数x＋yi共有36个，
满足条件的事件是复数x＋yi的实部大于虚部，
当实部是2时，虚部是1；
当实部是3时，虚部是1,2；
当实部是4时，虚部是1,2,3；
当实部是5时，虚部是1,2,3,4；
当实部是6时，虚部是1,2,3,4,5，
共有15个，
故实部大于虚部的概率是＝.
答案：
高考研究课(三)
推理3方法——类比、归纳、演绎
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
推理判断
5年3考
推理判断问题
类比推理
[典例] (1)若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，m，n，p是互不相等的正整数，有________________．
(2)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
[解析] (1)等差数列的三项之和类比等比数列的三项之积，等差数列中(m－n)ap类比等比数列中的b，因此有b·b·b＝1.
(2)类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.
[答案] (1)b·b·b＝1
(2)－＝1
[方法技巧]
类比推理的分类及处理方法
类别
解读
适合题型
类比
定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解
已知熟悉定义类比新定义
类比
性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键
平面几何与立体几何、等差数列与等比数列
类比
方法
有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移
已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法
[即时演练]
1．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则 ＝( )
A．3 B.
C．6 D．2
解析：选A 令 ＝m(m>0)，
则两边平方得，则3＋2＝m2,
即3＋2m＝m2，解得m＝3或m＝－1(舍去)．
2．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
归纳推理
[典例] (1)在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
(2)(2016·山东高考)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
[解析] (1)由题意知当实心圈的个数为n时，其前面(算上本身)共有(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝＋n个圆圈，
故n(n＋3)≤200，解得n的最大值为12，故前100个圈中实心圈共有12个.
(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．
[答案] (1)10 n(n＋1)(n＋2) (2)n(n＋1)
[方法技巧]
归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点，找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性
[即时演练]
1．观察下列等式：
12＝1；
12－22＝－3；
12－22＋32＝6；
12－22＋32－42＝－10；
……
照此规律，第n个等式为________________．
解析：观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
2．已知结论“a1，a2∈R＋，且a1＋a2＝1，则＋≥4；若a1，a2，a3∈R＋，且a1＋a2＋a3＝1，则＋＋≥9”，请猜想若a1，a2，…，an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，则＋＋…＋≥________.
解析：由题意知，结论左端各项分别是和为1的各数ai的倒数(i＝1,2，…，n),
右端n＝2时为4＝22，n＝3时为9＝32,
故ai∈R＋，a1＋a2＋…＋an＝1时，结论为＋＋…＋≥n2(n≥2).
答案：n2
演绎推理
[典例] 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
[证明] (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
[方法技巧]
演绎推理的推理过程中的2个注意点
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
[即时演练]
已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．
证明：设x1，x2∈R，取x1
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
∵x1
∴y＝f(x)为R上的单调增函数．
1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
2．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析：选B 法一：取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，
③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B.
法二：若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C，故选B.
3．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；
若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．
故甲的卡片上的数字是1和3.
法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.
答案：1和3
4．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①②③④
解析：选A 根据题意，依次分析4个推理：
对于①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；
对于②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；
对于③，不是合情推理，
对于④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是①②④.
2．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形．由①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( )
A．正方形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．以上均不正确
解析：选C 由演绎推理三段论可得，
“平行四边形的对角线相等”为大前提，
“正方形是平行四边形”为小前提，
则结论为“正方形的对角线相等”．
3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )
A．731 B．809
C．852 D．891
解析：选B 由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，
则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，
所以这个数是2×405－1＝809.
4．某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是( )
A．小赵、小谭 B．小马、小宋
C．小马、小谭 D．小赵、小宋
解析：选A 小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，
如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；
小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，
否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；
小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；
小谭说：“小赵说的对”，是假话；
这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，
且“迟到之星”是小赵和小谭．
5．将正整数排列如下：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
则图中数2 018出现在( )
A．第44行第83列 B．第45行第83列
C．第44行第82列 D．第45行第82列
解析：选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.
6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(n)＝( )
A．3n2－3n＋1 B．3n2－3n＋2
C．3n2－3n D．3n2－3n－1
解析：选A 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，
f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，
f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，
f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…
因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝3×12－3×1＋1＝1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.
7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．
1 2 3 4 5 … 2 015 2 016 2 017 2 018
3 5 7 9 ………… 4 031 4 033 4 035
8 12 16 ……………… 8 064 8 068
20 28 …………………… 16 132
………………………………
该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )
A．2 019×22 015 B．2 019×22 016
C．2 018×22 017 D．2 018×22 016
解析：选B 当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；
当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；
当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；
当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；
归纳推理得，当第一行为2 018个数时，最后一行仅一个数，为2 019×22 016.
8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )
A．S2＝S＋S＋S
B．S2＝＋＋
C．S＝S1＋S2＋S3
D．S＝＋＋
解析：选A 如图，作OD⊥ BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2
＝S＋S＋S.
二、填空题
9．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：由题意知，凸函数满足
≤f，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.
答案：
10．(2018·湛江一模)如图，已知点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1则＋＋＝1，类比猜想：点O是空间四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则有____________．
解析：猜想：若O为四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则＋＋＋＝1.用等体积法证明如下：＋＋＋＝＋＋＋＝1.
答案：＋＋＋＝1
11．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；
(ⅱ)女学生人数多于教师人数；
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，
则z＜y＜x＜2z.
①若教师人数为4，则4＜y＜x＜8，
当x＝7时，y取得最大值6.
②当z＝1时，1＝z＜y＜x＜2，不满足条件；
当z＝2时，2＝z＜y＜x＜4，不满足条件；
当z＝3时，3＝z＜y＜x＜6，y＝4，x＝5，满足条件．
所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.
答案：6 12
12．观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋＜________.
解析：由1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
1＋＋＋＋<，
……
1＋＋＋＋…＋<.
故1＋＋＋…＋<.
答案：
三、解答题
13．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
证明：∵△ABC为锐角三角形，
∴A＋B＞，∴A＞－B，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin A＞sin＝cos B，
同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A，
∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
1．为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”“书法社”“汉服社”，还满足如下条件：
(1)甲同学没有加入“楹联社”；
(2)乙同学没有加入“汉服社”；
(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；
(4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级；
(5)乙同学不在高三年级．
则甲同学所在的社团是( )
A．楹联社 B．书法社
C．汉服社 D．条件不足无法判断
解析：选C 假设乙在高一，则由(4)知乙加入“汉服社”，与(2)矛盾，
结合(5)知，乙在高二年级．根据(3)，可得乙加入“书法社”．
根据(1)可知甲同学没有加入“楹联社”，
可得甲同学所在的社团是汉服社.
2．已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C ∵13＋23＝32＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，
……
∴13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝.
∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，
∴＝3 025，∴n2(n＋1)2＝(2×55)2，
∴n(n＋1)＝110，解得n＝10.
高考研究课(四)
证明3方法 ——综合法、分析法、反证法 [全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
直接证明与间接证明
5年6考
综合法、分析法、反证法证明问题
分析法
[典例] 已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.
[证明] a⊥b⇔a·b＝0，要证≤.
只需证|a|＋|b|≤ |a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
[方法技巧]
分析法证明问题的思路与适用范围
(1)分析法的思路：
“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“要证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．
(2)分析法证明问题的适用范围：
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
[即时演练]
已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
即证＋＝3也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC的三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立.
综合法
综合法证明问题是历年高考的热点问题，也是必考问题之一．通常在解答题中出现．
常见的命题角度有：
(1)立体几何证明题；
(2)数列证明题；
(3)与函数、方程、不等式结合的证明题．
角度一：立体几何证明题
1.如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，EF∥BC，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
角度二：数列证明题
2．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.
(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；
(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2.解：(1)因为函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，
所以令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)·f(1)，
所以f(n＋1)＝f(n)·f(1)．
又因为f(1)＝，所以＝，
所以f(n)＝n(n∈N*)．
(2)证明：由(1)得an＝n·n，
设Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，则
Tn＝1×＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1＋n×n，①
所以Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－2)n－1＋(n－1)×n＋n×n＋1，②
所以由①－②得
Tn＝＋2＋3＋…＋n－1＋n－n·n＋1＝－n·n＋1＝1－n－n·n＋1＝1－，
所以Tn＝2－<2，
即a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an<2.
角度三：与函数、方程、不等式结合的证明题
3．已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤g(x)．
解：(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，
由题意得
解得a＝0，b＝1.
(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)
＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x＞－1)．
则h′(x)＝－x2＋x－1＝.
所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．
故h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．
[方法技巧]
综合法证题的思路
反证法
[典例] 设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
[解] (1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
[方法技巧]
反证法证明问题的3步骤
(1)反设：
假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)
(2)归谬：
将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)
(3)立论：
因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
[即时演练]
已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，
求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
得a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3＞0，
即a＋b＋c＞0，与a＋b＋c≤0矛盾，
∴a，b，c中至少有一个大于0.
1．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＜0时，证明f(x)≤－－2.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a＜0，则当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明：由(1)知，当a＜0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－.
所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.
设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.
当x∈(0,1)时，g′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.
所以当x＞0时，g(x)≤0.
从而当a＜0时，ln＋＋1≤0，
即f(x)≤－－2.
3．(2013·北京高考节选)给定数列a1，a2，…，an，对i＝1,2,3，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.
(1)设数列{an}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；
(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；
解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.
(2)证明：因为a1>0，公比q>1，
所以a1，a2，…，an是递增数列．
因此，对i＝1,2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.
于是对i＝1,2，…，n－1，
di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.
因此di≠0且＝q(i＝1,2，…，n－2)，
即d1，d2，…，dn－1是等比数列．
一、选择题
1．设x＝，y＝－，z＝－，则x，y，z的大小关系是( )
A．x>y>z B．z>x>y
C．y>z>x D．x>z>y
解析：选D 由题意知x，y，z都是正数，又x2－z2＝2－(8－4)＝4－6＝－>0，∴x>z.
∵＝＝>1，∴z>y，∴x>z>y.
2．对于定义域为D的函数y＝f(x)和常数c，若对任意正实数ξ，∃x0∈D，使得0<|f(x0)－c|<ξ恒成立，则称函数y＝f(x)为“敛c函数”．现给出如下函数：
①f(x)＝x(x∈Z)；②f(x)＝x＋1(x∈Z)；
③f(x)＝log2x；④f(x)＝.
其中为“敛1函数”的有( )
A．①② B．③④
C．②③④ D．①②③
解析：选C 由题意知，函数f(x)为“敛1函数”等价于存在x0属于f(x)的定义域，使得f(x0)无限接近于1.对于①，f(x)＝x(x∈Z)，当x＝1时，f(x)＝1，当x≠1时，|f(x)－1|≥1，故①中函数不是“敛1函数”；对于②③④中函数，作出函数图象，结合“敛1函数”的定义易知它们都是“敛1函数”．故选C.
3．(2018·大连一模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)
4．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：选A 因为≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，故f≤f()≤f.
5．设n∈N，则－与－的大小关系是( )
A.－>－
B.－<－
C.－＝－
D．不能确定
解析：选B 由题意知，(－)－(－)＝(＋)－ (＋)，
因为(＋)2－(＋)2
＝2[－]
＝2(－)<0，
所以－<－.
6．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a＋，b＋，c＋三个数( )
A．都大于6 B．至少有一个不大于6
C．都小于6 D．至少有一个不小于6
解析：选D 设a＋，b＋，c＋都小于6，
则a＋＋b＋＋c＋＜18,
利用基本不等式，可得a＋＋b＋＋c＋≥2 ＋2 ＋2 ＝8＋4＋6＝18，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
所以a＋，b＋，c＋三个数至少有一个不小于6.
二、填空题
7．(2018·太原模拟)用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设____________________．
解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．
答案：x≠－1且x≠1
8．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是________．
解析：法一：(补集法)
令解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的范围为.
法二：(直接法)
依题意有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
得－
答案：
9．(2018·德州一模)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是________三角形．
解析：由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由得
那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为π相矛盾．
所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．
所以△A2B2C2是钝角三角形．
答案：钝角
三、解答题
10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：＋＋＞3.
证明：因为a，b，c为不全相等的正数，
所以＋＋
＝＋＋＋＋＋－3
＞2 ＋2 ＋2 －3＝3，
即＋＋＞3.
11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，
(1)计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)证明(1)中的猜想．
解：(1)在数列{an}中，∵a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，
∴a1＝2＝，a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，
∴猜想这个数列的通项公式是an＝.
(2)证明：∵an＋1＝，
∴＝＝1＋，∴－＝1.
∵a1＝2，∴＝，
∴是以为首项，1为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)×1＝，∴an＝.
12．已知函数f(x)＝x3－ax在x＝1处取得极小值，其中a是实数．
(1)求实数a的值；
(2)用反证法证明：当x＞0时，－，中至少有一个不小于.
解：(1)∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a，
∵函数f(x)＝x3－ax在x＝1处取得极小值，
∴f′(1)＝0，即3－a＝0，
∴a＝3.
(2)证明：假设－，都小于，
即
∴
∴＋<2，
即x＋<2，当x＞0时，x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，
∴假设不成立，
∴－，中至少有一个不小于.
1.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i(i＝1,2,3,4)次，每次转动90°，记Ti(i＝1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1＝x1y2＋x2y3＋x3y4＋x4y1.若x1＋x2＋x3＋x4＜0，y1＋y2＋y3＋y4＜0，则以下结论正确的是( )
A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数
B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数
C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数
D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数
解析：选A 因为x1＋x2＋x3＋x4＜0，y1＋y2＋y3＋y4＜0，所以(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)>0，即x1y1＋x1y2＋x1y3＋x1y4＋ x2y1＋x2y2＋x2y3＋x2y4＋x3y1＋x3y2＋x3y3＋x3y4＋x4y1＋x4y2＋x4y3＋x4y4>0，即T1＋T2＋T3＋T4>0，即T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数．选A.
2．设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2.
(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋x；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明．
解：(1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，
则Fn(1)＝n－1＞0，
Fn＝1＋＋2＋…＋n－2
＝－2＝－＜0，
所以Fn(x)在内至少存在一个零点．
又F′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，
故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.
因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，
即－2＝0，故xn＝＋x.
(2)由题设，gn(x)＝.
设h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－，x＞0.
当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．
当x≠1时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－.
若0＜x＜1，h′(x)＞xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－·xn－1＝xn－1－xn－1＝0.
若x＞1，h′(x)＜xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－·xn－1＝xn－1－xn－1＝0.
所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，
所以h(x)＜h(1)＝0，即fn(x)＜gn(x)．
综上所述，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；
当x≠1时，fn(x)＜gn(x)．
阶段滚动检测(五)检测范围：第一单元至第十九单元(对应配套卷P357)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在复平面内，设z＝a＋2i(i是虚数单位)，若复数z2对应的点位于虚轴的正半轴上，则实数a的值为( )
A．0 B．2
C．－2 D．2或－2
解析：选B 因为z＝a＋2i，
所以z2＝a2－4＋4ai.
因为复数z2对应的点位于虚轴的正半轴上，
所以所以a＝2.
2．设U＝R，集合M＝{x|x2＋x－2>0}，N＝x2x－1≤，则(∁UM)∩N＝( )
A．[－2,0] B．[－2,1]
C．[0,1] D．[0,2]
解析：选A 由题意可得∁UM＝[－2,1]，N＝(－∞，0]，故(∁UM)∩N＝[－2,0]．
3．已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝log2|x|，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为( )
解析：选B f(x)，g(x)均为偶函数，则F(x)也为偶函数，由此排除A，D.当x>2时，－x2＋2<0，log2|x|>0，所以F(x)<0，排除C，故选B.
4．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学
成绩
95
75
80
94
92
65
67
84
98
71
67
93
64
78
77
90
57
83
72
83
物理
成绩
90
63
72
87
91
71
58
82
93
81
77
82
48
85
69
91
61
84
78
86
若数学成绩90分(含90分)以上为优秀，物理成绩85(含85分)以上为优秀．参照公式，得到的正确结论是( )
附：K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．有99.5%以上的把握认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”
B．没有99.5%以上的把握认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“学生的数学成绩与物理成绩无关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”
解析：选A 根据题意可得2×2列联表：
物理优秀
物理不优秀
总计
数学优秀
5
1
6
数学不优秀
2
12
14
总计
7
13
20
则K2＝≈8.802>7.879，因此有99.5%把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系．
5．已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若数列{an}与{Sn＋2}都是公比为q的等比数列，则q的值为( )
A. B．1
C. D．2
解析：选C 根据题意可得：＝q，即＝q，解得q＝.
6．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说课，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为.
7．执行如图所示程序框图，输出i的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选C 由图可得s＝0＋ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln－ln i＝ln(i＋1)，当i＝7时，s＝ln 8>2，此时输出的i＝8.
8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选B 由题意可知，n>4时，5n的末四位数字以T＝4为周期，又因为2 018＝4×503＋6，所以52 018的末四位数字与56的末四位数字相同，即为5 625.
9．已知集合M＝，N＝，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为＝.
10．如图， 网格纸上的小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为( )
A．4＋6π B．8＋6π
C．4＋12π D．8＋12π
解析：选B 由三视图可知，该几何体是组合体，下面是一个底面半径为2，高为3的圆柱的一半，上面是一个高为2，底面是一个边长为3,4的矩形的四棱锥，所以该几何体的体积V＝×π×22×3＋×4×3×2＝8＋6π.
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|－|MF2|＝2b，该双曲线的离心率为e，则e2＝( )
A．2 B.
C. D.
解析：选D 由题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，联立得即点M(a，b)，
则|MF1|－|MF2|＝－＝2b，
即－＝2，
－＝2，
化简得，e4－e2－1＝0，解得e2＝.
12．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，函数g(x)满足g′(x)＝f′(x)＋2f(x)，其中f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)和g(x)的导函数，若函数g(x)在[－1,1]上是单调函数，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1] B.
C．(1，＋∞) D.
解析：选B 因为f′(x)＝，
所以g′(x)＝f′(x)＋2f(x)＝.
因为函数g(x)在[－1,1]上是单调函数，
所以g′(x)≥0或g′(x)≤0.
当a＝0时，g′(x)>0，满足题意；
因为ex>0，所以当a<0时， 只需ax2＋2ax＋1≥0在[－1,1]上成立即可，所以a＋2a＋1≥0，则－≤a<0；
当a>0时，只需ax2＋2ax＋1≥0在[－1,1]上成立，所以a－2a＋1≥0，则0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1 800，则该批次产品总数为________．
解析：设该批次产品总数为n，根据分层抽样法的性质可得＝，解得n＝4 800.
答案：4 800
14．已知几何体O ABCD的底面ABCD是边长为的正方形，且该几何体体积的最大值为，则该几何体外接球的表面积为________．
解析：因为该几何体体积的最大值为，所以点O到平面ABCD的距离h＝，根据球的性质可得R2＝2＋2，所以R＝，因此该几何体外接球的表面积S＝4πR2＝8π.
答案：8π
15．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
m
10.5
11
销售量y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________.
解析：＝＝8＋，＝＝6＋，回归直线一定经过样本点中心(，)，即6＋＝－3.2＋40，即3.2m＋n＝42.
又因为m＋n＝20，即解得故n＝10.
答案：10
16．设x，y满足约束条件若目标函数z＝2x－y＋2a＋b(a>0，b>0)的最大值为3，则＋的最小值为________．
解析：
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数z与直线在y轴上的截距的关系可知，当目标函数z＝2x－y＋2a＋b(a>0，b>0)过点A(1,0)时取得最大值3，即2a＋b＝1，则＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当＝，即b＝2a＝2－时，＋取得最小值3＋2.
答案：3＋2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，A＝，求△ABC的面积．
解：(1)∵2bsin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C，
由正弦定理得，2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，
化简得，a2＋c2－b2＋ac＝0.
∴cos B＝＝＝－.
∵0
(2)∵A＝，∴C＝π－－＝.
∴sin C＝sin＝sincos－cossin＝.
∵b＝，B＝，
∴由正弦定理得c＝＝.
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×××＝.
18．(本小题满分12分)某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛(NEPCS)”，先在本校进行初赛(满分150分)，若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；
(2)该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率．
解：(1)设初赛成绩的中位数为x，则(0.001＋0.004＋0.009)×20＋0.02×(x－70)＝0.5，
解得x＝81，
所以初赛成绩的中位数为81.
(2)由题意知，该校学生的初赛分数在[110,130)的有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130,150)的有2人，分别记为a，b，则在6人中随机选取3人，总的事件有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，D)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(A，a，b)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(B，a，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，(C，a，b)，(D，a，b)，共20个基本事件，选取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的基本事件有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)共4个．
故选取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率为P＝＝.
19．(本小题满分12分)如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，且AB＝BE＝AF＝1，BE∥AF，AB⊥AF，∠CBA＝，BC＝，P为DF的中点．
(1)求证：PE∥平面ABCD；
(2)求三棱锥ABCE的体积．
解：(1)证明：
取AD的中点M，连接MP，MB，
∵P为DF的中点，
∴MP綊AF.
又BE綊AF，∴BE綊MP，
∴四边形BEPM是平行四边形，
∴PE∥MB.
又PE⊄平面ABCD，MB⊂平面ABCD.
∴PE∥平面ABCD.
(2)在△ABC中，由余弦定理可得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠CBA＝1＋()2－2×1××cos ＝1，∴AC＝1，∴AC2＋AB2＝BC2，
∴AC⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
∴AC⊥平面ABEF.
∵S△ABE＝BE·AB＝×1×1＝，
∴VABCE＝VCABE＝S△ABE×AC＝××1＝.
20．(本小题满分12分)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：
价格x(元/kg)
10
15
20
25
30
日需求量y(kg)
11
10
8
6
5
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，当价格x＝40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
＝，＝－ .
解：(1)由所给数据计算得
＝(10＋15＋20＋25＋30)＝20，
＝(11＋10＋8＋6＋5)＝8，
(xi－)2＝(－10)2＋(－5)2＋02＋52＋102＝250，
(xi－)(yi－)＝－10×3＋(－5)×2＋0×0＋5×(－2)＋10×(－3)＝－80，
＝＝＝－0.32.
＝－ ＝8＋0.32×20＝14.4.
故所求线性回归方程为＝－0.32x＋14.4.
(2)由(1)知当x＝40时，＝－0.32×40＋14.4＝1.6.
故当价格x＝40元/kg时，日需求量y的预测值为1.6 kg.
21．(本小题满分12分)(2018·昆明三中、玉溪一中统考)如图，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心
率为，且过点(2，)，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，kAC·kBD＝－.
(1)求·的取值范围；
(2)求证：四边形ABCD的面积为定值．
解：(1)由题意知得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2·＋km·＋m2＝.
∵kOA·kOB＝－⇒·＝－，
∴＝－·⇒m2＝4k2＋2.
·＝x1x2＋y1y2＝＋＝
＝2－，
∴－2≤·＜2，当k＝0时，·＝－2，
当k不存在，即AB⊥x轴时，·＝2，
∴·的取值范围是[－2,2]．
(2)证明：由题意知SABCD＝4S△AOB.
∵S△AOB＝···＝2＝2，∴SABCD＝8.
即四边形ABCD的面积为定值．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－ex＋1，a∈R.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤0在x∈R上恒成立，求实数a的值；
(3)当a＝1时，对任意的0
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0，得x
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，单调递减区间为(ln a，＋∞)．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，而f(0)＝0，
∴f(x)≤0在R上不可能恒成立；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递增，在(ln a，＋∞)上单调递减，
f(x)max＝f(ln a)＝aln a－a＋1.
令g(a)＝aln a－a＋1，
依题意有g(a)≤0，而g′(a)＝ln a，且a>0，
∴g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(a)min＝g(1)＝0，故a＝1.
(3)证明：由(2)知：a＝1时，f(ln x)＝ln x－x＋1≤0恒成立，所以有ln x≤x－1(x>0)．
则＝＝－1<－1＝－1，
又由ln x≤x－1知－ln x≥1－x在(0，＋∞)上恒成立，
∴＝－1＝－1>－1＝－1.
综上所述：对任意的0
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