高中数学高考山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三数学4月模拟训练试卷理（含解析）

这是一份高中数学高考山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三数学4月模拟训练试卷理（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三数学4月模拟训练试卷 理（含解析）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据不等式，求解出集合，再利用集合的交集运算，即可求解.
详解：由题意或，
所以 ，故选B.
点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中正确的求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

2.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A.的虚部为 B.
C. 为纯虚数 D.的共轭复数为
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案
【详解】∵z，
∴z的虚部为﹣1，|z|，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．，
故选：AC．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3.已知函数 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算出的值，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以，
所以.
故选B
【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.

4. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 （ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由图形知，无信号的区域面积，所以由几何概型知，所求事件概率，故选A．
考点：几何概型．
【此处有视频，请去附件查看】


5.如图，在中，是边上的高，则（）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，•（）••；⊥；•||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°；从而求得．
【详解】•（）
••
•
＝||•||cos∠BAD
＝||•sin30°•||•cos60°
＝4×44；
故选：C．
【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，同时考查了线性运算，属于中档题．

6.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）

A. 最低气温低于的月份有个
B. 月份的最高气温不低于月份的最高气温
C. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在月份
D. 每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关
【答案】A
【解析】
【分析】
由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．
【详解】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A错误．
在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；
在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；
在D中，最低气温与最高气温为正相关，故D正确；

故选：A．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

7.如图正方体，点为线段的中点，现用一个过点的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可．
【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体可知，

所得的侧视图为
故选：B．
【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

8.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（ ）
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.
【详解】从冬至起，日影长依次记为，
根据题意，有，
根据等差数列的性质，有，
而，设其公差为，则有，
解得，
所以冬至的日影子长为尺，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.

9.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求.
【详解】∵x∈（0，4），
∴x+1＞1
∴f（x）＝x﹣4x+15≥25＝1，
当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，
∴a＝2，b＝1，,排除BC.
此时g（x）＝2|x+1|，
此函数可以看成函数y的图象向左平移1个单位
结合指数函数的图象及选项可知A正确
故选：A．
【点睛】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键。

10.已知函数的最大值为，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列判断正确的是（）
A. 函数在上单调递增
B. 函数的图像关于直线对称
C. 当时，函数的最小值为
D. 要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意求出函数f（x）的解析式，再判断四个选项中的命题是否正确即可．
【详解】函数f（x）＝Asin（ωx+φ）中，A，，∴T＝π，ω2，
又f（x）的图象关于点（，0）对称，∴ωx+φ＝2×（）+φ＝kπ，
解得φ＝kπ，k∈Z，∴φ；
∴f（x）sin（2x）；
对于A，x∈[，]时，2x∈[，]，f（x）是单调递减函数，错误．
对于B，x时，f（）sin（2）＝0，f（x）图象不关于x对称，错误；
对于C，x∈[，]时，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）的最小值为，C错误；
对于D，ycos2x向右平移个单位，得ycos2（x）cos（2x）的图象，
且ycos（2x）cos（2x）sin（2x），∴正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，以及正弦函数的图象和性质的应用问题，是中档题．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.

11.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为( )
A. B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．
【详解】由题意可得2a＝4，即a＝2，
渐近线方程为y＝±x，即有，
即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，
焦点为F1（，0），F2，（，0），
由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，
由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，
|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，
连接CF2，交双曲线于M，圆于N，
可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|3，
则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．
故选：B．

【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．

12.已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数f（x）的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x22，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．
【详解】函数f（x）的图象如下图所示：

当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，
|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x22，
|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，
且x1+x2+x3+x4＝8，
若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，
则k恒成立，
由[（x1+x2）﹣48]≤2
故k≥2，
故实数k的最小值为2，
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若实数满足条件，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的可行域，函数z＝3x﹣y的几何意义是直线y＝3x﹣z的纵截距的相反数，平移直线y＝3x﹣z，根据图形可得结论．
【详解】画出实数x，y满足条件表示的平面区域，如图所示；

目标函数y＝3x﹣z的几何意义是直线z＝3x﹣y的纵截距的相反数，
由，可得交点坐标为A（3，2），
平移直线y＝3x﹣z，根据图形可知，
当直线y＝3x﹣z在经过A（3，2）时，z取得最大值，最大值为7．
故答案为：7．
【点睛】利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

14.的展开式中的系数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理的通项公式即可得出．
【详解】将原式子化为：（y+x2+x）5其展开式中，通项公式Tr+1y5﹣r（x2+x）r，
令5﹣r＝3，解得r＝2．
（x2+x）2＝x4+2x3+x2，5个括号里有2个出的是x2+x，
∴x3y3的系数为220，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.

15.已知点，抛物线焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．
【详解】
依题意F点的坐标为（，0），
设M在准线上的射影为K
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，
∴，
则|KN|：|KM|＝2：1，
kFN，
∴2，求得p＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．

16.已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则的因数有，则，那么__________．
【答案】
【解析】
【分析】
f（n）表示正整数n的所有因数中最大的奇数，可得f（n）＝f（2n），且n为奇数时，f（n）＝n，其中n∈[1，100]；f（n）max＝f（99）＝99，f（n）min＝f（64）＝f（2）＝f（4）＝f（8）＝f（16）＝f（32）＝1；进而得出．
【详解】f（n）表示正整数n的所有因数中最大的奇数，
∴f（n）＝f（2n），且n为奇数时，f（n）＝n，其中n∈[1，100]；
f（n）max＝f（99）＝99，f（n）min＝f（64）＝f（2）＝f（4）＝f（8）＝f（16）＝f（32）＝1；
那么f（51）+f（52）+f（53）+…+f（100）
＝51+13+53+27+55+7+57+29+59+15+61+31+63+1+65+33+67
+17+69+35+71+9+73+37+75+19+77+39+79+5+81+41+83+21
+85+43+87+11+89+45+91+23+93+47+95+3+97+49+99+25
＝1+3+5+7+9+11+…+99

＝2500．
那么1+1+3+1+5+3+7+1+9+5+11+3+13+7+15+1+17+9+19
+5+21+11+23+3+25+13+27+7+29+15+31+1+……+49+25
＝（1+3+5+…+29+31+……+49）+（4+9+10+14+9+11+13+15+1+17+9+19+5+21+11+23+1+25）219＝844．
∴那么2500﹣844＝1656．
故答案为：1656．
【点睛】本题考查了数列递推关系等差数列的通项公式求和公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.中，分别是内角所对的边，且满足.
（1）求角；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得cosBsinC＝sinCsinB，结合sinC≠0，可求cosB＝sinB，结合范围0＜B＜π，可求B的值；（2）由B，利用三角函数恒等变换的应用可求sinA﹣sinC＝cosC，由范围0＜C，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围．
【详解】（1）由正弦定理得：
因为：
故
因为，所以
因为，所以
（2）因为，所以
又因为，且在上单调递减，
所以的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

18.如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别计算∠BCA和∠CAE得出两角相等，得出AE∥BC，故而AE∥平面PBC；（2）建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．
【详解】（1）证明：

在中，
是直角三角形
又为的中点，
是等边三角形，

又平面平面
平面
（2）

由（1）可知，以点为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

设为平面的法向量，则即
设，则
设为平面的法向量，则即
设，则

二面角的余弦值为
【点睛】本题考查了线面平行的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．一般证明线面平行是从线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行。

19.已知椭圆左、右焦点分别为，且椭圆上存在一点，满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a，再根据b2＝a2﹣c2＝3，可得椭圆的方程;（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，表示出△F1AB的周长与面积，设直线l的方程为x＝my+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令t，利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解△F1AB内切圆半径的最大值为．
【详解】（1）设，则内，
由余弦定理得，化简得，解得
故，得
所以椭圆的标准方程为
（2）设，设得内切圆半径为
的周长为
所以
根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为
由得

由韦达定理得

令，则
令，则时，单调递增，

即当时，的最大值为，此时.
故当直线的方程为时，内圆半径的最大值为.
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

20.某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表并以此估计赔付概率：
 工种类别
 A
 B
 C
 赔付频率
 
 
 

已知A，B，C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
求保险公司在该业务所或利润的期望值；
现有如下两个方案供企业选择：
方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的，职工个人负责保费的，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．
请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) 方案2．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设工种职工的每份保单保险公司的收益为随机变量，可得其分布列，分别求解数学期望，即可得到该工资的期望值；
（Ⅱ）分别求出方案1和方案2中企业每年安全支出与固定开支，即可作出比较得到结论．
试题解析：
（Ⅰ）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为
X
25

P


Y
25

P


Z
40


P




保险公司期望收益为
；　　　　
；　　　　　　　
；　　　
保险公司的利润的期望值为，
保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．　　　　　　
（Ⅱ）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：
，
方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：
，　
，故建议企业选择方案2．

21.已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）在处取得极小值为，无极大值；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）当a＝1时，f（x）＝（x﹣1）ex+x2．f′（x）＝xex+2x＝x（ex+2），令f′（x）＝0，解得x．即可得出极值；（2）令h（x）＝f（x）﹣ln（ax﹣1）﹣x2﹣x﹣1＝（ax﹣1）ex﹣ln（ax﹣1）﹣x﹣1．x．h′（x）＝（ax﹣1+a）ex1＝（ax﹣1+a）（ex）．令u（x）＝ex，利用导数研究其单调性极值即可得出．
【详解】（1）当时，

令得
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以在处取得极小值为，无极大值.
（2）设
则

设，则
在区间上单调递增
又，当时，，由，解得，
当时， ，故有唯一的零点
当时，，当时，
且
当时，
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系中，已知直线的参数方程为，(为参数，为直线的倾斜角)，点和的坐标分别为和；以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1) 将曲线极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 设直线与曲线交于、两点，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）两边同乘ρ，利用互化公式可得；（2）利用参数的几何意义可得．
【详解】（1）由，得，即
所以曲线的直角坐标方程为
（2）将代入得，
由题意，得
设对应的参数分别为，则
由点在直线上，得
所以，即
结合或，代入不适合，适合.
综上，.
【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

23.已知函数.
（1）求证：
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值不等式的性质可证；（2）利用分段函数的单调性可得．
【详解】（1）
因为（当且仅当时取等号）；
（当且仅当时取等号）
所以（当且仅当时取等号），
即
（2）因为
所以为偶函数.
又时，
显然在和上是增函数，又
所以在上是增函数.
由得，所以，
解得，
故实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．