高中数学高考数学-6月大数据精选模拟卷01（北京卷）（临考预热篇）（解析版）

2020年6月高考数学大数据精选模拟卷01

北京卷-临考预热篇（数学）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

姓名_____________        班级_________        考号_______________________

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4．测试范围：高中全部内容.

                         第一部分（选择题，共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，解得，所以．

由，得，所以，所以，

所以，

2．设，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，

则，故选c.

3．已知、是两个非零向量，，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，，，

，．

令，，则，其中，故的最大值为．

4．已知直线和圆有两个交点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，直线和圆有两个交点，

即直线与圆相交，则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，

即，整理得，解得.

5．已知函数，，,则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵函数f（x）=e|x|，∴函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，

∴

又，

∴.

6．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】等价于，即；

的解为，解集相等，所以“”是“”的充分必要条件.

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(    )

A． B．  C． D．

【答案】B

【解析】由三视图还原原几何体如图，

可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r=3，高h=4.

则圆锥的表面积为.

8．点F2是双曲线的右焦点，动点A在双曲线左支上，直线l1：tx﹣y+t﹣2＝0与直线l2：x+ty+2t﹣1＝0的交点为B，则|AB|+|AF2|的最小值为（    ）

A．8 B． C．9 D．

【答案】C

【解析】由双曲线的方程可得a＝3，b，焦点F（﹣2，0），

可得|AF2|＝|AF1|+2a＝|AF1|+6，

所以|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6，

当A，F1，B三点共线时，|AB|+|AF2|最小，

联立直线l1，l2的方程，可得，消参数t可得x2+（y+2）2＝1，

所以可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆，

所以|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6≥|BF1|+6≥|MF1|-1+65＝9，

当过F1与圆心的直线与圆的交点B且在F1和圆心之间时最小.

所以|AB|+|AF2|的最小值为9，

故选：C

9．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数．下列判断正确的是（ ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图象关于点对称

C．函数的图象关于直线对称

D．函数在上单调递增

【答案】D

【解析】由题图象相邻两条对称轴之间的距离为，则；, 又函数是偶函数，

可知；

则得；A错误，B，图像对称点横坐标为；错误；

C，图像的对称直线方程为；，错误；

D，函数的增区间为；

为它的子集．正确．

10．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】构造新函数,，当时.

所以在上单减，又，即.

所以可得,此时，

又为奇函数，所以在上的解集为：.

第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．

11．已知等比数列的前项和为，若，，则________.

【答案】

【解析】，且，

、、成等比数列，即，

因此，.

12．已知函数，则     ，的最小值是     ．

【答案】，.

【解析】，

若：，当且仅当时，等号成立；

若：，当且仅当时，等号成立，故可知．

13．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面为正方形， ，侧面为等边三角形，线段的中点为，若.则所需球体原材料的最小体积为___________.

【答案】

【解析】根据题意，取中点为，连接，取中点为，连接，如下所示：

因为为边长为2的等边三角形，故可得，

又因为，满足勾股定理，

故可得，则为直角三角形，

则.

若要满足题意，只需满足ABCD在球大圆上时，点P在球内部即可，

此时球半径最小为 ，体积为.

14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.

【答案】乙、丁

【解析】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖.

所以本题答案为乙、丁.

15．已知双曲线，过其右顶点A作一条渐近线的垂线交另一条渐近线于点B，若，则该双曲线的离心率为________.

【答案】或

【解析】如图,

不妨设点B在直线上,易得直线AB的方程为,

联立直线OB,AB的方程,即,解得,

所以B的坐标为,

因为,所以,即,

化简得,得或,所以或,

故或,

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题14分）

已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且.

（1）求B；

（2）若b＝2，且sinA，sinB，sinC成等差数列，求△ABC的面积.

【解析】（1）由，

则，

，

,

，

而sinC＞0，

，

所以，可得，

而B∈（0，π），

又，

所以，

故.

（2）由sinA，sinB，sinC成等差数列，且b＝2，

所以2sinB＝sinA+sinC，可得a+c＝2b＝4，

又a2+c2﹣2accosB＝b2，

则，可得：16﹣3ac＝4，

所以ac＝4，

则.

17．（本小题14分）

如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中∠BAD＝120°，AE∥CF，CF⊥平面ABCD，，.

（1）求证：平面BDE⊥平面BDF；

（2）求二面角D﹣EF﹣B的大小.

【解析】（1）证明：因为AE∥CF，所以A、C、F、E四点共面.

又CF⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，所以BD⊥CF，

由菱形ABCD，所以，BD⊥AC，令BD∩AC＝O，

且CF∩AC＝C，所以，BD⊥平面ACFE，

而OF⊂平面ACFE，所以，OF⊥BD，

因为AE∥CF且CF⊥平面ABCD，所以AE⊥平面ABCD，

则AE⊥AO且FC⊥CO，，由菱形ABCD且∠BAD＝120，所以AO＝OC＝1，

故，，则，，

所以，即OF⊥OE，

又OE∩BD＝O，所以OF⊥平面BDE，OF⊂平面BDF，平面BDE⊥平面BDF.

（2）由菱形ABCD，所以BD⊥AC，以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴，过O作垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系.则轴，轴，

则，所以A（1，0，0），，，，，

所以，，，

令平面DEF的一个法向量为，且，，

由，，所以，

由，，所以，即，

令平面BEF的一个法向量为：，且，，

由，，所以，

由，，所以，即，

所以，则，

即二面角D﹣EF﹣B的大小为.

18．（本小题14分）

为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛．从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段，，，，，，到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值及样本的中位数与众数；

（2）若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于分为事件,求事件发生的概率.

（3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在内的为一等奖,得分在内的为二等奖, 得分在内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设为获得三等奖的人数,求的分布列与数学期望.

【解析】（1）由频率分布直方图可知，解得，

可知样本的中位数在第4组中，不妨设为，

则，解得，

即样本的中位数为，

由频率分布直方图可知，样本的众数为.

（2）由频率分布直方图可知，在与两个分数段的学生人数分别为和，设中两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M，

则事件M发生的概率为，即事件M发生的概率为.

（3）从考生中随机抽取三名,则随机变量为获得三等奖的人数,则，

由频率分布直方图知，从考升中任抽取1人，此生获得三等奖的概率为，

所以随机变量服从二项分布，

则，

，

所以随机变量的分布列为

所以.

19．（本小题15分）

已知函数，，为的导函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，当时，求证:有两个零点.

【解析】（1）

①当时，令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

②当时，令，得，，

i）当时，，所以在上单调递增；

ii）当时，令，得或；令，得，

所以在和单调递增，在单调递减；

iii）当时，令，得或；令，得，

所以在和单调递增，在单调递减；

综上：①当时，在上单调递增；在单调递减；

②i）当时，在上单调递增；

ii）当时，在和单调递增，在单调递减；

iii）当时，在和单调递增，在单调递减；

（2）当时，在与单调递增，在单调递减，

所以在与单调递增，在单调递减，

因为，所以是函数的一个零点，且，

当时，取且，

则，

所以，所以在恰有一个零点，

所以在区间有两个零点.

20．（本小题14分）

已知椭圆Γ：的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，且A、B分别是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，△PF1F2面积的最大值为4.

（1）求椭圆Γ的方程.

（2）如图，四边形ABCD为矩形，设M为椭圆Γ上任意一点，直线MC、MD分别交x轴于E、F，且满足，求证：AB＝2AD．

【解析】（1）由题意可得，解得.

所以椭圆的方程为1.

（2）设，，，令，

由，故的方程为，

直线交轴于，

令，则，

即：.

由，故的方程为，

直线交轴于，

令，则，

即：.

因为，

所以.

可得，

即，得.

又因为，所以，

可得，即，

因为为椭圆上一点，

所以，解得，

所以，即证：.

21．（本小题14分）

已知数集，其中，且，若对，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质.

（1）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；

（2）已知数集具有性质，判断数列，，…，是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由.

【解析】（1）由于和都不属于集合,

所以该集合不具有性质；

由于、、、、、、、、、都属于集合,

所以该数集具有性质.

（2）∵具有性质,所以与中至少有一个属于,

由,有,故,∴,故.

∵,∴,故.

由具有性质知,,

又∵,

∴,,…,,,

即①,

由知,,,…,均不属于,

由具有性质,,,…,均属于,

∴,而,

∴,,,…,即②,

由①②可知,

即.

故,,…,构成等差数列.