高中数学高考数学-6月大数据精选模拟卷03（江苏卷）（临考预热篇）（解析版）

这是一份高中数学高考数学-6月大数据精选模拟卷03（江苏卷）（临考预热篇）（解析版），共15页。试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。
数学-6月大数据精选模拟卷03（江苏卷）（临考预热篇）数学（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：高中全部内容。    一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合，，则          ．【答案】【解析】以题意知，，又，所以=.2．已知是虚数单位,若,则的值为          ．【答案】4【解析】因为，所以所以所以的值为4.3．已知一组数据的平均数为5，则方差为         ．【答案】【解析】由题意可知解得，所以这组数据的方差为4．函数的值域为            ．【答案】【解析】令则，结合函数的图象，可知函数的值域是.5．执行如图所示的伪代码，输出的S为            ． 【答案】42【解析】第一次循环,第二次循环第三次循环退出循环,输出的为42.6．一只口袋内装有形状、大小完全相同的4只小球，其中2只白球、2只红球，从中一次随机摸出2只球，则摸出的2只球颜色不同的概率为       ．【答案】【解析】．7．双曲线实轴的左端点为A，虚轴的一个端点为B，又焦点为F，设点A到直线BF的距离为，则的值为            ．【答案】【解析】易知,由对称性不妨令,则直线BF的方程为所以点A到直线BF的距离8．在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线与圆x2＋y2＝5相交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为       ．【答案】8【解析】双曲线的渐近线为，可知四边形ABCD是矩形，      求得四点坐标为(1，2)、(1，﹣2)，(﹣1，2)，(﹣1，﹣2)，      故该矩形长为4，宽为2，面积为8．9．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，ACB＝90，D为AA1的中点．设四面体C1—B1CD的体积为V1，直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V2，则的值为       ．   【答案】【解析】                                ∴．10．在平面直角坐标系xOy中，己知A，B，F分别为椭圆C：（a＞b＞0）左顶点、上顶点和左焦点（如图），过点F作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，直线BN与x轴交于点 D．若OA＝2OD，则椭圆C的离心率为       ．    【答案】【解析】，．11．已知等差数列的前n项和为，若，则的最小值为            ．【答案】9【解析】根据，求得，，                                             ，      当且仅当n＝3时取“＝”．12．已知函数，则关于x的不等式的解集为       ．【答案】(，)【解析】根据题意可得函数在(，1)单调递减，在(1，)单调递增，            且，要使，则，即，      故不等式的解集为(，)13．如图，在四边形ABCD中，，，，则对角线BD的长为       ．             【答案】【解析】由，的∠ABC＝∠ADC＝90°，      ∴四边形ABCD的外接圆是以AC为直径的圆，设AC，BD的中点分别为O，E，则OE⊥BD，∴结合，，得，∴，即对角线BD＝．14．已知函数，．若存在a[n，n+l](nZ)，使得关于x的方程有四个不相等的实数解，则n的最大值为       ．【答案】2【解析】方程      令，，则显然为偶函数，      所以方程有四个实根函数，x＞0有两个零点，      令，x＞0，则关于t的方程，      即在(，)内有两个不相等的实根，      结合函数，的图像，得，即，从而存在[n，n+l]，使得，∴，结合nZ，得nmax＝2．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本题满分14分)已知锐角三角形ABC中，sinC＝，sin(AB)＝．（1）求证：tanA＝2tanB；（2）若AB边上的高为2，求边AB的长．【解析】（1）证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以，即，① 又，即，②由①②得，，因为A，B≠，所以两式相除得， tan A＝2tan B．（2）由题意，，得，在△ABC中，，所以又，即，解得，所以．AB＝．16．(本题满分14分)如图，EA平面ABC，DC∥EA，EA＝2DC，F是EB的中点．（1）求证：DC平面ABC；（2）求证：DF∥平面ABC．证明：（1）因为EA⊥平面ABC，AB，AC平面ABC，所以EA⊥AB，EA⊥AC．又DC∥EA，所以DC⊥AB，DC⊥AC．因为ABAC＝A，AB，AC平面ABC，所以DC⊥平面ABC．（2）取AB中点M，连结CM，FM．在△ABE中，F，M分别为EB，AB中点，FM∥EA，且EA＝2FM．又DC∥EA且EA＝2DC，于是DC∥FM，且DC＝FM．所以四边形DCMF为平行四边形．则DF∥CM，CM平面ABC，DF平面ABC，所以DF∥平面ABC． 17．(本题满分14分)如图，某地有一块半径为R的扇形AOB公园，其中O为扇形所在圆的圆心，AOB＝120°，OA，OB，为公园原有道路．为满足市民观赏和健身的需要，市政部门拟在上选取一点M，新建道路OM及与OA平行的道路MN（点N在线段OB上），设AOM ＝．（1）如何设计，才能使市民从点O出发沿道路OM，MN行走至点N所经过的路径最长？请说明理由；（2）如何设计，才能使市民从点A出发沿道路，MN行走至点N所经过的路径最长？请说明理由．【解析】（1）由题意知OM＝OA＝R，且0°＜≤60°．在△OMN中，由正弦定理得，于是从而市民从点O出发沿道路OM，MN行走所经过的路径长，0°＜≤60°当，即＝30°时，取最大值．即当＝30°时，市民从点O出发沿道路OM，MN行走所经过的路径最长．（2）市民从点A出发沿道路AM，MN行走所经过的路径长               ，0°＜≤60°          当0°＜≤60°时，，从而恒成立，所以在区间(0，]上单调递增，所以当＝60°时，取最大值．即当＝60°时，市民从点A出发沿道路AM，MN行走所经过的路径最长．18．(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l与椭圆C交于两点A，B．己知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．【解析】（1）设焦距为2c，        ∵椭圆C的离心率为，∴①，        ∵右焦点到右准线的距离为3，∴②，        由①，②解得a＝2，c＝1，故b2＝a2﹣c2＝3，        ∴椭圆C的标准方程为，   （2）当直线l斜率不存在时，四边形OAQB不可能平行四边形，故直线l斜率存在        ∵直线l过点P(0，1)，设直线l为：，        设A(，)，B(，)，由四边形OAQB是平行四边形，得Q(，)，化简得：，，，        ∴Q(，)，∵点Q在椭圆C上，        ∴，解得，代入Q的坐标，得        Q(1，)或(﹣1，)．19．(本题满分16分)设函数(a，b R)．（1）当b＝﹣1时，函数有两个极值，求a的取值范围；（2）当a＋b＝1时，函数的最小值为2，求a的值；（3）对任意给定的正实数a，b，证明：存在实数，当时，．【解析】（1）当时，，        ∴，        若函数有两个极值，则，解得，        故a的取值范围是(，0)，   （2）当时，，        ∴，        当a≤0时，，∴是(0，)上的减函数，        ∴函数无最小值，舍去；        当a＞0时，由得，，        ∴在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，        ∴函数的最小值为，        由，得，        解得或，   （3）对任意给定的正实数a，b，有，        设，设，x＞0，则，        易知当x＝4时，，故，        又由，得，        对于任意给定的正实数a，b，取为与4中的较大者，则当时，恒有，即当时，． 20. (本题满分16分)已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且对任意n，恒成立．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，已知，，(2＜i＜j)成等差数列，求正整数i，j ．【解析】（1）∵，        ∴，        ∵数列各项均为正数，∴，等式两边同时除以，        得，故数列是等差数列，首项为2，公差为0，        ∴，即①，，求得，∴(n≥2)②，①﹣②得，即，又，∴对任意n，数列是以2为首项，2为公比的等比数列故数列的通项公式为；   （2），∴，，，∵，，(2＜i＜j)成等差数列，∴，变形得(*)，①当时，，令(i≥3)，则(i≥3)，∴数列单调递减，故，∴，，故时*式不成立，②当时，*式转化为，解得i＝4，故j＝5．  数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A的逆矩阵 ，求点P(1，2)在矩阵A对应的变换作用下得到点Q的坐标．【解析】设A＝，则，    所以，解得，∴A＝因为，所以点P(1，2)在矩阵A对应的变换作用下得到点Q的坐标为(3，﹣7)．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两条曲线的极坐标方程分别为与，它们相交于A，B两点，求线段AB的中点M的极坐标．【解析】将化为普通方程为，将化为普通方程为，联立，消y得，所以x＝0或x＝，所以AB的中点M的直角坐标为(，)，所以点M的极坐标为(1，)．C．[选修4-5;不等式选讲]（本小题10分）已知a，b，cR，且a＋b＋c＝3，a2＋b2＋2c2＝6，求a的取值范围．【解析】因为，   即，所以． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，点M是棱PD的中点．（1）求二面角M—AC—D的余弦值；（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，求的值．【解析】（1）以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A— xyz，        则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，，)，＝(0，0，3)，＝(2，3，0)，＝(0，，)因为PA⊥平面ABCD，所以平面ACD的一个法向量为＝(0，0，3)，设平面MAC的法向量为＝(x，y，z)，所以，即，取＝(3，﹣2，2)，∴cos<，>＝，∴二面角M—AC—D的余弦值为；   （2）设，其中，        ∴，        ∵平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，3)，        ∴                                            ∵直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，∴，∴，化简得，即，∴．23．（本小题满分10分）已知数列中，，( n)．（1）分别比较下列每组中两数的大小：①和；②和；（2）当n≥3时，证明：．【解析】（1）①∵，，∴＝；        ②∵，，∴＞；   （2）先用数学归纳法证明：当n≥3时，，        当n＝3时，＞；        假设当n＝k（k≥3，k）时，结论成立，即，        当n＝k＋1时，                                         其中，        ∴，∴当n＝k＋1时，结论也成立，        综上所得，当n≥3时，，        从而，当n≥3时，，        则，，        ∴当n≥3时，．