【全套】中考数学专题第8关 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题（解析版）

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第八关 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题
【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题主要考查了学生的数形结合能力及综合分析问题的能力，这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性。
【解题思路】等腰三角形的存在性的解题方法：（1）几何法三步法：①假设结论成立；②找点，当所给的定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：a.当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求点；若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；b.当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，交点即为所求的点；若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点不存在；（以上方法即可找出所有符合条件的点，该方法简称为“两圆一线”）；散计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，也可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可以利用勾股定理进行求解；（2）代数法三步：①罗列三边；②分类列方程；③解方程求解后检验．在以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.
【典型例题】
【例1】（2019·山东中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，抛物线的对称轴是直线.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在第二象限内，且，求的面积．
（3）在（2）的条件下，若为直线上一点，在轴的下方，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【解析】
【分析】
(1)由抛物线的对称性结合点A的坐标可得点，由此可设函数的表达式为：，继而根据点C的坐标即可求解；
(2)先求出BC的解析式，设点，则OD=-x，点，点，表示出PE的长，继而根据可得关于x的方程，解方程求得x的值后进而可求得PE、BD的长，然后利用三角形面积公式进行计算即可；
(3)根据题意，在x轴下方，是以为腰的等腰三角形，只存在：的情况，由此可得BM=BD=1，求出的值，继而设M的坐标为(xM，yM)，利用解直角三角形的知识即可求得，进而求出，由此即可得.
【详解】
(1)点的坐标是，抛物线的对称轴是直线，则点，
所以设函数的表达式为：，
将点C(0，-2)代入得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
(2)设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点(-4，0)、(0，-2)分别代入得，
解得：，
所以直线的表达式为：，
设点，则OD=-x，点，点，
∴PE=，
∵，
∴=，
解得：或x=-5(舍去)，
∴点，
∴PE=，BD=-4-(-5)=1，
∴；
(3)由题意得：在x轴下方，是以为腰的等腰三角形，只存在：的情况，
∴BM=BD=1，
∵(-4，0)、(0，-2)，
∴OB=4，OC=2，
∵∠BOC=90°，∴BC==，
∴ ，
设M的坐标为(xM，yM)，
则，
则，
故点.

【名师点睛】
本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合题，解题的关键要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【例2】（2019·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；
(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；(2)点的横坐标为；(3)AN=1或.
【解析】
【分析】
(1)根据和点可得抛物线的表达式为，可知对称轴为x=-2，代入解析式即可得出顶点坐标；(2)设点，则，，可得矩形的周长，即可求解；(3)由D为顶点，A、B为抛物线与x轴的交点可得AD=BD，即可证明∠DAB=∠DBA，根据，利用角的和差关系可得，即可证明，可得；分、、，三种情况分别求解即可．
【详解】
(1)∵抛物线经过点和点．
∴抛物线的表达式为：，
∴对称轴为：x==-2，
把x=-2代入得：y=4，
∴顶点.
(2)设点，
则，，
矩形的周长，
∵，
∴当时，矩形周长最大，此时，点的横坐标为.
(3)∵点D为抛物线顶点，A、B为抛物线与x轴的交点，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）
∴，，
①当时，
∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，
∴，

∴，
∴=AB-AM=1；
②当时，则，
∵∠DMN=∠DBA，
∴∠NDM=∠DBA，
∵∠DAB是公共角，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，即，
∴；
③当时，
∵，而，
∴，
∴；
综上所述：或．
【名师点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
【例3】（2019·辽宁中考真题）抛物线与轴交于两点，顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线对称轴上的一动点（点不与重合）．过点作直线的垂线交于点，交轴于点．
求抛物线的解析式；
当的面积为时，求点的坐标；
当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）点 或．
【解析】
【分析】
把代入函数,利用交点式求解即可.
先求出点C，设点然后得函数的表达式为：，根据，得故直线表达式中的值为，求出直线的表达式为，联立①②并解得： ，求出，利用的面积为，求出m即可；
由点的坐标得：分别算出，，时的m即可.
【详解】
解：将抛物线化为交点式：
将代入可得
.
故抛物线解析式为.
抛物线的对称轴为，则点
设点
将点的坐标代入一次函数表达式：并解得：
函数的表达式为：
故直线表达式中的值为，
将点的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线的表达式为：
联立①②并解得：
故点

解得：或（舍去），
故点
由确定的点的坐标得：

①当时，即： ，解得：或（均舍去），
②当时， ，解得：或（舍去），
③当时，同理可得：（舍去），
故点 或．
【名师点睛】
本题考查的是抛物线，熟练掌握抛物线的性质，等腰三角形是解题的关键.
【方法归纳】首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（用字母表示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相列出方程建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。
【针对练习】
1．（2019·西藏中考真题）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3 （2）（﹣，） （3）存在，P（﹣2，3）或P（，）
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求解；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F，直线AB解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则F（t，t+3），则PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根据S△PAB＝S△PAF+S△PBF写出解析式，再求函数最大值；（3）设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，由对称轴为直线x＝﹣1，PE∥x轴交抛物线于点E，得yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称，所以＝﹣1，得xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t，故PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，由△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD＝PE，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t；②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F
∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3
∴A（0，3）
∴直线AB解析式为y＝x+3
∵点P在线段AB上方抛物线上
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）
∴F（t，t+3）
∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+
∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴对称轴为直线x＝﹣1
∵PE∥x轴交抛物线于点E
∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称
∴＝﹣1
∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°
∴PD＝PE
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2
∴P（﹣2，3）
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t
∴﹣t2﹣3t＝2+2t
解得：t1＝，t2＝（舍去）
∴P（，）
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．

【点睛】
考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.
2．（2019·辽宁中考真题）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值为；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．
【解析】
【分析】
（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．
（2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值．
（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．
【详解】
（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4
∴C（0，4）
当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4
（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵ME⊥x轴于点E，PB＝t
∴∠BEP＝90°
∴Rt△BEP中，
∴，
∴
∵点M在抛物线上
∴，
∴ ，
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON＝PE＝t
∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴
∴
解得：（点P不与点C重合，故舍去）
∴t的值为
（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE
∴∠BPE＝∠PBE＝45°
∴∠MPD＝∠BPE＝45°
①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°
∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°
∵∠AEM＝90°
∴AE＝ME
∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4
∴A（﹣1，0）
∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t
∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t＝﹣t2+5t
解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）

③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF
∴CF＝CD
∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m
∴ 解得： ，
∴直线AM：
∴F（0，t）
∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t
∵tx+t＝﹣x+4，解得：，
∴，
∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°
∴，
∴
解得：
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．
3．（2019·辽宁中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C．
(1)求这个抛物线的函数表达式．
(2)点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)y=-x2-x+2；(2)S的最大值为；(3)存在，点N的坐标为：(，)或(，)或(，)或(，)．
【解析】
【分析】
(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，即可求解；
(2)S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC，即可求解；
(3)分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】
解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，
即-3a=2，解得：a=-，
故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2，
则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=1；
(2)连接OP，设点P(x，-x2-x+2)，

则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|-×CO×OD
=(-x2-x+2)×2×(-x)-=-x2-3x+2，
∵-1＜0，故S有最大值，当x=-时，S的最大值为；
(3)存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：

①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况(△M1N1O)：
设点N1的坐标为(x，-x2-x+2)，则M1E=x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，∠M1N1E+∠EM1N1=90°，∴∠EM1N1=∠FN1O，
∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，
即：x+1=-x2-x+2，解得：x=(舍去负值)，
则点N1(，)；
N2的情况(△M2N2O)：
同理可得：点N2(，)；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得：点N3、N4的坐标分别为：(，)、(，)；
综上，点N的坐标为：(，)或(，)或(，)或(，)．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
4．（2019·天津中考模拟）如图，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，－4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值；
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值。
（3）△OMD为等腰三角形，分DM=DO，MD=MO，OD=OM三种情况讨论即可。
【详解】
解：（1）把点C（0，－4），B（2，0）分别代入y=12x2+bx+c中，
得c=-412×22+2b+c=0，解得b=1c=-4。
∴该抛物线的解析式为12x2+x-4=0。
（2）令y=0，即12x2+x-4=0，解得x1=－4，x2=2。
∴A（﹣4，0），S△ABC=12AB•OC=12。
设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x。
∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA。∴△PBE∽△ABC。
∴SΔPBESΔABC=(PBAB)2，即SΔPBE12=(2-x6)2，化简得：SΔPBE=13(2-x)2。
∴SΔPCE=SΔPCB-SΔPBE=12PB⋅OC-SΔPBE=12⋅（2-x）⋅4-12(2-x)2
=-13x2-23x+83=-13(x+1)2+3。
∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3。
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：
①当DM=DO时，如图①所示，

∵DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°。∴∠ADM=90°。
∴M点的坐标为（－2，－2）。
②当MD=MO时，如图②所示，

过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3。
∴M点的坐标为（－1，－3）。
③当OD=OM时，
∵△OAC为等腰直角三角形，
∴点O到AC的距离为×4=22，即AC上的点与点O之间的最小距离为22。
∵22＞2，∴OD=OM的情况不存在。
综上所述，点M的坐标为（－2，－2）或（－1，－3）。
5．（2019·湖北中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，已知，四点，动点以每秒个单位长度的速度沿运动（不与点、点重合），设运动时间为（秒）．
（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；
（2）点在（）中的抛物线上，当为的中点时，若，求点的坐标；
（3）当在上运动时，如图②．过点作轴，垂足为，，垂足为．设矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并求出的最大值；
（4）点为轴上一点，直线与直线交于点，与轴交于点．是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（2）或；（3）或或或
【解析】
【分析】
（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可；
（2）由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，点P的纵坐标是1，则有1＝，即可求P；
（3）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，直线AQ的解析式 ，求出点，，由勾股定理可得，，，分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可；
【详解】
解：（1）设函数解析式为c，
将点代入解析式可得
，
，
；
（2），
，
点为的垂直平分线与抛物线的交点，
，
∴点的纵坐标是，
，
或，
∴或；
（3），
t，
，
，
；
当时，最大值为；
（3）设点，直线的解析式，
直线的解析式，
∴，，
∴，，，
①时，，
，
或；
②时，，
，
或；
③K时，，不成立；
综上所述：或或或；
【点睛】
本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直线交点的求法是解题的关键．
6．（2019·甘肃中考真题）二次函数的图象交轴于两点，交轴于点.动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接.设运动的时间为秒.
(1)求二次函数的表达式:
(2)连接，当时，求的面积:
(3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标;
(4)当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标

【答案】（1）（2）2（3）（4）或
【解析】
【分析】
（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；
（2）根据题意得出AM,OM,设的解析式为：，将点代入求出解析式，然后将分别代入和中，得：，再根据三角形面积公式，即可解答
（3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，设，根据题意得出，根据，即可解答
（4）当时，，此时点在二次函数的对称轴上，以点为圆心，长为半径作圆，交于两点，得出，再根据（同弧所对圆周角），即可解答
【详解】
（1）将点代入，得：

解得：
所以，二次函数的表达方式为：
（2）
又
设的解析式为：，将点代入，得：

所以，直线的解析式为：.
将分别代入和中，得：.

.
（3）假设过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，
设，由题意得：



所以，点的坐标为：
（4）当时，，此时点在二次函数的对称轴上，
以点为圆心，长为半径作圆，交于两点


点在该圆上


（同弧所对圆周角）


或
【点睛】
此题考查二次函数的综合应用，解题关键在于将已知点代入解析式
7．（2019·广东中考模拟）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；
（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
∴B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），
设M（2，t），且C（0，3），
∴MC=，MP=|t+1|，PC=，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，
①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；
②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；
③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，

设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），
∵0＜x＜3，
∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），
即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．
考点：二次函数综合题．
8．（2019·江苏中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

【答案】(1)点A的坐标为（4，8）
将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
得8=16a+4b
0=64a+8b
解得a=,b=4
∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=
∴PE=AP=t．PB=8-t．
∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.
∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.
∴EG=-t2+8-(8-t)
=-t2+t.
∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.
②共有三个时刻：t1=， t2=，t3=．
【解析】
（1）根据题意即可得到点A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出点E的坐标，从而得到点G的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．
9．（2019·甘肃省武威第五中学初三月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？

【答案】（1）A（﹣1，0）；（2）y=x2﹣x﹣2；（3）当t=1时，△PNE是等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）由C（0，﹣2）知OC=2，根据tan∠BCO==2得OB=4，据此得出点B坐标，再由OB=4OA可得点A坐标；
（2）将点A、B坐标代入抛物线解析式求得a、b的值，从而得出答案；
（3）由题意知AN=2t、BM=t，根据tan∠BME=tan∠BCO=2知=，求得OE=OB﹣BE=4﹣t，从而得出PE=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，再分点N在点E左侧和右侧两种情况，表示出NE的长，利用NE=PE列方程求解可得答案．
【详解】
（1）∵C（0，﹣2），
∴OC=2，
由tan∠BCO==2得OB=4，
则点B（4，0），
∵OB=4OA，
∴OA=1，
则A（﹣1，0）；
（2）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx﹣2，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；
（3）设点M、点N的运动时间为t（s），则AN=2t、BM=t，
∵PE⊥x轴，
∴PE∥OC，
∴∠BME=∠BCO，
则tan∠BME=tan∠BCO，即=2，
∴=，即 =，
则BE=t，
∴OE=OB﹣BE=4﹣t，
∴PE=﹣[（4﹣t）2﹣（4﹣t）﹣2]=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，
①点N在点E左侧时，即﹣1+2t＜4﹣t，解得t＜ ，
此时NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t，
∵△PNE是等腰三角形，
∴PE=NE，
即﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=5﹣3t，
整理，得：t2﹣11t+10=0，
解得：t=1或t=10＞（舍）；
②当点N在点E右侧时，即﹣1+2t＞4﹣t，解得t＞，
又且2t≤5，
∴＜t≤ ，
此时NE=AN﹣AO﹣OE=2t﹣1﹣（4﹣t）=3t﹣5，
由PE=NE得﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=3t﹣5，
整理，得：t2+t﹣10=0，
解得：t=＜0，舍去；或t=＞，舍去；
综上，当t=1时，△PNE是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及三角函数的应用、等腰三角形的性质等知识点．
10．（2018·宁夏中考真题）如图：一次函数 的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP.
（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；
（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标.

【答案】（1）AP=；（2）点P的坐标为(，)或(2，)．
【解析】
【分析】
（1）令P点坐标为（x0，y0），根据三角形面积公式列出S△OPM关于x0的二次函数解析式，确定最大值，进而根据相似比求出当△OPM面积最大时AP的长即可；（2）将情况分为BO＝BP以及OP＝BP两种进行讨论：①当BO＝BP时，根据三角形相似求出MP的长，即P点的横坐标，将P点横坐标代入一次函数解析式，即可得到P点的坐标；②当OP＝BP时，如图，过点P作PM⊥OB于点N，根据等腰三角形的性质得到ON＝OB，ON的长即为P点的横坐标，将ON＝2代入一次函数解析式中即可求出P点的纵坐标.
【详解】
（1）令点的坐标为，
轴，
将代入得
当时，的面积，有最大值，
即：，
，

即
直线分别交两坐标轴于点、，
，，
，，
，
；
（2）①在中，当时
，
，

，
将代入代入中，得
，；
②在中，当时，如图，
过点作于点

，

将代入中得，
点的坐标为，
即：点的坐标为，或．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像与性质、一次函数解析式、二次函数解析式、相似三角形的性质，仔细读题，熟练掌握这些知识点并依据图形灵活运用是解答此类题目的关键.
11．（2019·湖北初三月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x+．（2）3，（3）点Q的坐标为（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．
【解析】
试题分析：（1）抛物线的解析式可以变天为y=(x+1)(x-3),从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入，求得k和b的值，从而得到AE的解析式；
（2）设直线CE的解析式为y=mx-,将点E的坐标代入求得ｍ的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE于点F，设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x-），则FP＝﹣x２＋．由三角形的面积公式得：ΔEPC的面积=-x2+x，利用二次函数的媒体人富士康得x的值，从而求得点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP于N、M，然后利用轴对称的性质可得到点G和H的坐标，当点O、N、M、H在一条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH。
（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF、FQ=FQ三种情况求解即可.
试题解析：（1）∵y=x2﹣x﹣，
∴y=（x+1）（x﹣3）．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
当x=4时，y=．
∴E（4，）．
设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：
，
解得：k=，b=．
∴直线AE的解析式为y=x+．
（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．
∴直线CE的解析式为y=x﹣．
过点P作PF∥y轴，交CE与点F．

设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），
则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．
∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．
∴当x=2时，△EPC的面积最大．
∴P（2，﹣）．
如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．

∵K是CB的中点，
∴k（，﹣）．
∵点H与点K关于CP对称，
∴点H的坐标为（，﹣）．
∵点G与点K关于CD对称，
∴点G（0，0）．
∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．
当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．
∴GH==3．
∴KM+MN+NK的最小值为3．
（3）如图3所示：

∵y′经过点D，y′的顶点为点F，
∴点F（3，﹣）．
∵点G为CE的中点，
∴G（2，）．
∴FG=．
∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．
当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，
∴点Q″（3，2）．
当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．
由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．
∴点Q1的坐标为（3，﹣）．
综上所述，点Q的坐标为（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．
考点：二次函数综合题.
12．（2019·山东初三期末）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；
（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

图① 图②
【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；
（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；
当m=-时，最大值L=9；
（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．
【解析】
试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；
（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；
（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．
试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）
抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，
,
∴，
所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,
所以，顶点坐标为C（-1,4）．
（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．
因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．
DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．
由题意可知，AO=BO,
∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，
∴DE=EF．
L=4DE=-4m2-12m．
L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．
∵a=-4