19-20 主题2 3　简谐运动的回复力和能量

3　简谐运动的回复力和能量

知识点一| 简谐运动的回复力

1．回复力

(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力．

(2)方向：指向平衡位置．

(3)表达式：F＝－kx．

2．简谐运动的动力学特征

如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．

1．回复力的方向总是与位移的方向相反． (√)

2．回复力的方向总是与速度的方向相反． (×)

3．回复力的方向总是与加速度的方向相反． (×)

1．公式F＝－kx中的k是否就是指弹簧的劲度系数？

【提示】　不一定．做简谐运动的物体，其回复力特点为F＝－kx，这是判断物体是否做简谐运动的依据，但k不一定是弹簧的劲度系数．

2．弹簧振子从平衡位置到达最大位移处的过程中，回复力如何变化？从最大位移处向平衡位置运动的过程中呢？

【提示】　由回复力F＝－kx可知：从平衡位置到达最大位移处的过程中，回复力逐渐增大，方向一直指向平衡位置．从最大位移处向平衡位置运动的过程中，回复力逐渐减小，方向一直指向平衡位置．

1.回复力的性质

回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力．

2．简谐运动的回复力的特点

(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．

(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．

(3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．

1.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(　　)

A．振子所受的回复力逐渐增大

B．振子的位移逐渐减小

C．振子的速度逐渐减小

D．振子的加速度逐渐减小

E．弹簧的形变量逐渐减小

解析：该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析．当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝得加速度也减小．物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，即加速度与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大．故正确答案为B、D、E.

答案：BDE

2．如图所示，分析做简谐运动的弹簧振子m的受力情况．

解析：弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力，回复力为效果力，受力分析时不分析此力，故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力．

答案：受重力、支持力及弹簧给它的弹力．

3．一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示．

(1)小球在振动过程中的回复力实际上是________；

(2)该小球的振动是否为简谐运动？

解析：(1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力．(2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg              ①

当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h)               ②

将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动．

答案：(1)弹力和重力的合力　(2)是简谐运动

判断是否为简谐运动的方法

(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系．

(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析．

(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力．

(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动．

知识点二| 简谐运动的能量

1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系

弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程．

(1)在最大位移处，势能最大，动能为零．

(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．

2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．

1．简谐运动是一种理想化的振动．  (√)

2．水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零．

  (×)

3．弹簧振子位移最大时，势能也最大． (√)

1．振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能各物理量的关系如何？

【提示】　振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同，但速度不一定相同，方向可能相反．

2．振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′时各物理量的关系如何？

【提示】　位移、回复力、加速度大小相等，方向相反，动能、势能相等，速度大小相等，方向可能相同也可能相反，且振子往复通过一段路程(如OP)所用时间相等，即tOP＝tPO.

简谐运动的特点

如图所示的弹簧振子．

(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反．

(2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点．

(3)最大位移处是速度方向变化的转折点．

(4)简谐运动的位移与前面学过的位移不同，简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，位移起点是平衡位置，是矢量．

4．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　　)

A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小

B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大

C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功

D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加

E．小球从B到O的过程中，动能增大，势能减小，总能量不变

解析：小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项正确；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D项错误．E项正确．

答案：ABE

5．弹簧振子做简谐运动，其位移x与时间t的关系如图所示，则(　　)

A．在t＝1 s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零

B．在t＝2 s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零

C．在t＝3 s时，速度的值最大，方向为正，加速度最大

D．在t＝4 s时，速度的值最大，方向为正，加速度为零

E．当t＝5 s时，速度为零，加速度最大，方向为负

解析：当t＝1 s和t＝5 s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项A错误，E正确；当t＝2 s时，位移为零，加速度为零，而速度最大，速度方向要看该点切线斜率的正负，t＝2 s时，速度为负值，选项B正确；当t＝3 s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项C错误；当t＝4 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，选项D正确．

答案：BDE

6．如图所示为一弹簧振子的振动图象，在A，B，C，D，E，F各时刻中：

(1)哪些时刻振子有最大动能？

(2)哪些时刻振子有相同速度？

(3)哪些时刻振子有最大势能？

(4)哪些时刻振子有相同的最大加速度？

解析：由题图知，B，D，F时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大；A，C，E时刻振子在最大位移处，具有最大势能，此时振子的速度为0.B，F时刻振子向负方向运动，D时刻振子向正方向运动，可知D时刻与B，F时刻虽然速率相同，但方向相反．A，E两时刻振子的位移相同，C时刻振子的位移虽然大小与A，E两时刻相同，但方向相反．由回复力知识可知C时刻与A，E时刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反．

答案：(1)B，D，F时刻振子有最大动能．　(2)A，C，E时刻振子速度相同，B，F时刻振子速度相同．

(3)A，C，E时刻振子有最大势能．　(4)A，E时刻振子有相同的最大加速度．

对简谐运动能量的三点认识

(1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大．

(2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的．

(3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒．