高中数学高考专题6 第1讲

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专题复习检测A卷1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)A．　 B．－　　C．4　　 D．－4【答案】B【解析】由题意知抛物线的标准方程为x2＝y，所以准线方程y＝－＝1，解得a＝－.2．(2019年湖北荆州监利实验高中月考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)A．相切　 B．相交　　C．相离　 D．不确定【答案】B【解析】∵M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.∴圆心O(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r，则直线与圆相交．3．(2018年湖南长沙一模)椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为(　　)A．＋＝1　 B．＋y2＝1C．＋＝1　 D．＋＝1【答案】C【解析】易知b＝c＝，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为＋＝1.4．(2019年天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)A．　 B．　　C．2　 D．【答案】D【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为l＝－1.由题意得|AB|＝，|OF|＝1，所以＝4，即＝2，所以离心率e＝＝＝.5．(2017年上海)设双曲线－＝1(b＞0)的焦点为F1，F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝________.【答案】11【解析】双曲线－＝1中，a＝＝3，由双曲线的定义，可得||PF1|－|PF2||＝6，又|PF1|＝5，解得|PF2|＝11或－1(舍去)，故|PF2|＝11.6．(2018年天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．【答案】x2＋y2－2x＝0【解析】设该圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得D＝－2，E＝F＝0.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＝0.7．(2019年浙江)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．【答案】【解析】方法一：设线段PF的中点为M，椭圆的右焦点为F1，连接PF1，MF1.因为线段PF的中点M在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，所以MF1⊥PF，|PF1|＝|FF1|＝4.由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，则|PF|＝2，|MF|＝1.所以tan∠MFF1＝＝＝，即直线PF的斜率为.方法二：设P(m，n)，－3<m<3，n>0，则＋＝1(①)．易得F(－2,0)，则线段PF的中点为M，所以|OM|＝|OF|＝2，则2＋2＝4(②)．联立①②，解得m＝－，n＝，即P，所以直线PF的斜率为.8．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．【解析】(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，∴4＋＝5，解得p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．又F(1,0)，∴kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．∵MN⊥FA，∴kMN＝－，则MN的方程为y＝－x＋2.解方程组得∴N.B卷9．(2019年山西吕梁模拟)如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x和圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB周长的取值范围为(　　)A．(6,10)　 B．(8,12)C．[6,8]　 D．[8,12]【答案】B【解析】抛物线的准线为x＝－2，焦点F(2,0)，由抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，所以△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.由抛物线y2＝8x和圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，所以xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)，即△FAB周长的取值范围为(8,12)．10．(2018年北京)已知椭圆M：＋＝1(a＞0，b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________，双曲线N的离心率为________．【答案】－1　2【解析】设椭圆的右焦点坐标为(c,0)，正六边形的一个顶点坐标为，代入椭圆方程，得＋＝1.又椭圆的离心率e＝，化简得e4－8e2＋4＝0，e∈(0,1)，解得e＝－1.双曲线的渐近线的斜率为，即＝，所以n＝m，则双曲线的离心率e1＝＝2.11．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2且|F1F2|＝2，点在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以点F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．【解析】(1)由题意，知c＝1,2a＝＋＝4，a＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)①当直线l⊥x轴时，可取A，B，△AF2B的面积为3，不符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.显然Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，可得|AB|＝·＝.又点F2到直线l的距离d＝，∴△AF2B的面积为|AB|·d＝＝，化简，得17k4＋k2－18＝0，解得k＝±1.∴所求圆的半径r＝d＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.