高中数学高考专题07 导数的应用（解析版）

专题07导数的应用  命题规律内      容典     型１利用导数研究函数的单调性2018年高考全国Ⅱ卷文数２含参数函数的单调性讨论2020年高考全国Ⅱ卷文数21３已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值2019年高考天津文数４已知函数在某点取极值求参数范围或值2018年高考北京文数５利用导数求函数的最值2019年高考全国Ⅲ卷文数命题规律一 利用导数研究函数的单调性【解决之道】用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.【三年高考】1.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数的图像大致为【答案】B【解析】为奇函数，舍去A；，∴舍去D；时，，单调递增，舍去C，因此选B.2.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点，排除A，B；令，则，由得，得或，此时函数单调递增，由得，得或，此时函数单调递减，排除C，故选D.3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数．（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【解析】（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．由题设知，f ′（2）=0，所以a=．从而f（x）=，f ′（x）=．当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥时，f（x）≥．设g（x）=，则 当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．命题规律二 含参数的函数的单调性问题【解决之道】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式Δ≤0和Δ＞0分类讨论，即“有无实根判别式，两种情形需知晓”．(2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数．如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根x1，x2的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”．(3)注意：讨论两个根x1，x2的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”．【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）设，讨论函数的单调性．【解析】（1）函数的定义域为：，，设，则有，当时，单调递减；当时，单调递增，∴当时，函数有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需．（2）且，因此，设，则有，当时，，∴，单调递减，因此有，即，∴单调递减；当时，，∴，单调递增，因此有，即，∴单调递减，∴函数在区间和上单调递减，没有递增区间．命题规律三 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值【解决之道】解决此类问题的一般步骤为：(1)确定函数定义域；(2)求导数f′(x)及f′(x)＝0的根；(3)根据方程f′(x)＝0的根将函数定义域分成若干个区间，列出表格，检查导函数f′(x)零点左右f′(x)的值的符号，并得出结论．【三年高考】1.【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．【解析】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得或．因为都在集合中，且，所以．此时，．令，得或．列表如下：1+0–0+极大值极小值所以的极小值为．（3）因为，所以，．因为，所以，则有2个不同的零点，设为．由，得．列表如下： +0–0+极大值极小值所以的极大值．解法一：．因此．解法二：因为，所以．当时，．令，则．令，得．列表如下：+0–极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．2.【2019年高考天津文数】设函数，其中.（Ⅰ）若a≤0，讨论的单调性；（Ⅱ）若，（i）证明恰有两个零点；（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.【解析】（Ⅰ）解：由已知，的定义域为，且.因此当a≤0时，，从而，所以在内单调递增.（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知.令，由，可知在内单调递减，又，且.故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则.当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以.从而，又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.（ii）由题意，即从而，即.因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是，整理得.3.【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．【解析】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得或．因为都在集合中，且，所以．此时，．令，得或．列表如下：1+0–0+极大值极小值所以的极小值为．（3）因为，所以，．因为，所以，则有2个不同的零点，设为．由，得．列表如下： +0–0+极大值极小值所以的极大值．解法一：．因此．解法二：因为，所以．当时，．令，则．令，得．列表如下：+0–极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．命题规律四  已知函数在某点取极值求参数范围或值【解决之道】解决此类问题常利用f′(x0)＝0列方程求参数，求出参数后还要检验所求参数值是否满足x0的极值点特征【三年高考】1.【2018年高考北京文数】设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：x1+0−↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：x1+0−0+↗极大值↘极小值↗∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：x+0−0+↗极大值↘极小值↗∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：x−0+0−↘极小值↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.命题规律五 利用导数求函数的最值【解决之道】求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路：(1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．【三年高考】1.【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】由得或，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此解得.从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，则2.【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】由得或，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此解得.从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，则3.【2020年高考江苏卷17】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式．己知点到的距离为米．（1）求桥的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元）（），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？【解析】（1）过，分别作的垂线，垂足为，，则．令，得，∴，．（2）设，则，由得．总造价，∵，∴令，得或，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增,∴当时，取最小值，造价最低．4.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当0<a<3时，记在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．【解析】（1）．令，得x=0或．若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在[0,1]的最小值为，最大值为或.于是，所以当时，可知单调递减，所以的取值范围是．当时，单调递增，所以的取值范围是．综上，的取值范围是．5.【2018年高考江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解析】（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，]时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1]．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范围是[，1]．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，]．设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，]，则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．