高中数学高考专题07 极坐标系与参数方程（解析版）

这是一份高中数学高考专题07 极坐标系与参数方程（解析版），共36页。试卷主要包含了极坐标系与参数方程等内容，欢迎下载使用。
备战2020高考数学最后冲刺存在问题之解决宝典
专题七 极坐标系与参数方程
【考生存在问题报告】
（一）对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位
【例1】（2020·江苏高三）已知P1，P2是直线 (t为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，则线段P1P2的中点到点P(1，-2)的距离是________.
【答案】
【解析】因为对应的参数分别为
故其中点所对应的参数为，
又对应的参数为，
根据直线的参数方程中的几何意义可知：
中点到点的距离为,故答案为：.
【评析】本题考查直线的参数方程中参数的几何意义，属基础题，此类结论要非常熟悉.
【例2】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为.直线与曲线交于两点.求的长；
【解析】把直线的参数方程化为标准的参数方程（为参数）
代入曲线整理得，所以，所以.
【评析】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，由点对应的参数分别为错误得到. 当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，才表示距离.一般地，直线（t表示参数），当时，表示点到点的距离.
【例3】（2020·江苏金陵中学高三）在平面直角坐标系中，直线（为参数），与曲线（为参数）交于、两点，求线段的长．
【答案】
【解析】解法一：将直线的参数方程化为普通方程得，
将曲线的参数方程化为普通方程得，
联立方程组，解得 或，所以、．
所以；
解法二：将曲线的参数方程化为普通方程得．
将直线的参数方程代入抛物线的方程得，整理得，
设点、对应的参数分别为、，解得，，
因此，.
【评析】解法一：将直线与曲线的方程均化为普通方程，联立直线与曲线的普通方程求出交点、的坐标，利用两点间的距离公式可求出线段的长；
解法二：将曲线的方程化为普通方程，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，解出的二次方程，结合的几何意义可得出，进而求解.
（二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价
【例4】（2020·山西大同一中高三）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣1）2﹣x2＝1交于A，B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．
【答案】（1）2．（2）1
【解析】（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴直线l的参数方程的标准形式为（μ为参数），
代入曲线C的方程得μ2+2μ﹣4＝0．
设点A，B对应的参数分别为μ1，μ2，
则μ1+μ2＝﹣2，μ1μ2＝﹣4，
∴|AB|＝|μ1﹣μ2|＝2．
（2）∵点P的极坐标为，
∴由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为（﹣1，1），
∴点P在直线l上，中点M对应参数为1，
由参数μ的几何意义，点P到线段AB中点M的距离|PM|＝1．
【评析】本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标化为直角坐标等.在第（1）问中将直线l的参数方程的标准形式，代入曲线C的方程得．设点A，B对应的参数分别为μ1，μ2，可得μ1+μ2，μ1μ2的值，可得|AB|的长；在第（2）问中将点P的极坐标化为直角坐标，可得中点M对应参数，由参数μ的几何意义，可得点P到线段AB中点M的距离|PM|.
【例5】【广东省深圳市高考模拟】若直线与曲线为参数，且有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________．
【解析】曲线为参数，且表示的是以原点为圆心，以1为半径的右半圆，如图，直线与曲线有两个不同的交点,直线应介于
两直线之间,则.

【评析】本题易错点主要在于忽视所给的范围，以为为参数，且表示的图形是圆.其实本题中参数方程表示的是以原点为圆心1为半径的非左半部分的圆的一部分，有了这个认识之后，便不容易出错.
（三）对极径的意义理解不到位，不能灵活使用极径解决问题
【例6】（2020·湖南长沙一中高三）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线的方程为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和曲线的极坐标方程；
（2）曲线分别交直线l和曲线于点A，B，求的最大值及相应的值.
【答案】(1)直线的极坐标方程为：；曲线的极坐标方程为：；(2) 当时，,的最大值为.
【解析】(1)由题意，直线的直角坐标方程为：，
直线的极坐标方程为：，
曲线的直角坐标方程：，
曲线的极坐标方程为：.
(2)由题意设：，，
由(1)得，，
，
，，
当，即时，,此时取最大值.
【评析】本题考查了曲线的极坐标方程与普通方程间的互化，以及极坐标系中极径的几何意义与三角函数的综合运用.
(1)参数方程化为普通方程，只要消去参数方程中的参数即可；极坐标方程化为普通方程，只要利用极坐标与直角坐标的函数关系转换即可；
(2)设出点的极坐标，结合极坐标的几何意义与三角函数求最值的知识，即可求解.
【例7】（2019·广西大学附属中学高三）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知
|OP|=，=.
由|OP|=16得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为.
（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积

当时， S取得最大值.
所以△OAB面积的最大值为.
【评析】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
（四）思维不严谨性，完备性欠缺
【例8】（2020·广东高三期末）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程；
（2）求曲线和曲线交点的极坐标.
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）由,消去参数得的普通方程,
由,消去参数得的普通方程,
设,由题意得,消去得
（2）由（1）曲线的坐标方程为,
由题意得,故或,
所以曲线和曲线交点的极坐标为或
【评析】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查轨迹方程,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查极坐标系下的交点
（1）分别求得直线与直线的普通方程,联立两直线方程消去即可；
（2）由（1）可得曲线的极坐标方程,联立曲线与曲线的极坐标方程,求解即可
【例9】【2018全国卷II 22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（Ⅰ）求和的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（Ⅱ）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
【评析】(Ⅰ)根据同角三角函数关系将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况——这也是考生容易忽略之处.( Ⅱ)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．这里，直线的参数方程的标准形式的应用显得特别重要——也是能否顺利求解的关键.
（五）作图分析不到位
【例10】（2020·内蒙古高三期末）平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
（2）若是直线上一点，是曲线上一点，求的最大值.
【答案】（1），；（2）2.
【解析】（1）由题，直线的参数方程为（其中为参数）.
消去参数得直线的直角坐标方程为，
由，，得直线的极坐标方程，
即
曲线的极坐标方程为，所以，
由，，得曲线的直角坐标方程为.
（2）因为在直线上，在曲线上，
所以，，
所以，的最大值为2.
【评析】本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标与直角坐标互化公式,考查了极坐标的几何意义,考查了三角函数的最值.在第(1)中消去参数可得普通方程,极坐标与直角坐标互化公式可得答案;在第(2)中根据极坐标的几何意义以及三角函数的最值可得到答案.
【命题专家现场支招】
一、解决问题的思考与对策
（一）关注两个“互化”的技能训练
参数方程和普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化是高考每年必考的内容之一，考查形式多样，有直接要求互化的，也有通过转化化为直角坐标方程或普通方程，然后利用解析几何的相关知识解决问题的，因此，应通过专项训练使之熟练化、自动化.
【例11】（2020·江苏高三）在极坐标系中，曲线的极方程为．以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴的平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）．已知直线与曲线有公共点，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，曲线的方程为，
直线的普通方程为，
因为直线与曲线有公共点，
所以圆心到直线的距离，
解得，或．
故实数的取值范围是．
【例12】【湖北省2020届高三】已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为.
（1）求圆C和直线l的极坐标方程；
（2）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.
【答案】（1）圆C：；直线l：；（2）
【解析】（1）由于，， ，又圆C的直角坐标方程为，则圆C的极坐标方程为，即.
直线l的参数方程为(t为参数)，消去t后得y＝x＋1，
直线l的极坐标方程为.
（2）当时，，
则点P的极坐标为，
，则点Q的极坐标为，
故线段PQ的长为.
【评析】本题考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程间的转化，利用极坐标求两点间的距离是解决本题的关键.
（1）结合直角坐标方程、参数方程及极坐标方程间的关系，求出圆C和直线l的极坐标方程即可；
（2）将与圆C和直线l的极坐标方程联立，可求得的极坐标，进而可求得线段PQ的长.

（二）强化对直线参数方程中参数的几何意义的认识
利用直线参数方程中参数的几何意义，可以快速求解与线段长度、距离等相关的问题. 使用时应注意表示距离时方程的特征和所具有的“方向”性.
【例13】（2020·广东高三）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于不同的两点A，B.
（1）求曲线C的参数方程；
（2）若点P为直线与x轴的交点，求的取值范围.
【答案】（1）（为参数）；（2）
【解析】（1）等价于，
将，代入上式，
可得曲线C的直角坐标方程为，即，
所以曲线C的参数方程为（为参数）.
（2）将代入曲线C的直角坐标方程，整理得；，
由题意得，故，又，∴，
设方程的两个实根分别为，，则，，
所以与同号，由参数的几何意义，可得
，，
∴，
∵，
∴，所以的取值范围是.
【评析】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
（三）关注圆、椭圆参数方程最值问题向三角函数问题的转化
涉及有关最值或参数范围问题的求解，常可利用圆与椭圆的参数方程，化为三角函数的最值问题处理.
【例14】（2020·福建高三）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线l的参数方程为（为参数），直线l与曲线C分别交于两点.
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）当时，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由得：
∴曲线C的直角坐标方程为：
由消去参数t得直线l的普通方程为
（2）解：当时,曲线C的直角坐标方程为：
将直线l的参数方程,代入得：

设两点对应的参数分别为,
则有
∴,
∴
【评析】(1)根据极坐标与参数方程和直角坐标的互化求解即可.
(2)联立直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程,设两点对应的参数分别为,再利用参数的几何意义求解即可.
（四）理解极径、极角几何意义，强化应用意识
【例15】（2020·云南昆明一中高三）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若点为曲线上的动点，求中点到直线的距离的最小值
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）直线的普通方程为：，由线的直角坐标方程为：.
（2）曲线的参数方程为（为参数），
点的直角坐标为，中点，
则点到直线的距离，
当时，的最小值为，
所以中点到直线的距离的最小值为.
【评析】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将距离的最值转化为三角函数问题，意在考查转化与化归的思想，以及计算求解的能力，属于基础题型.
（五）注重算法的选择，关注运用本领域知识进行的问题解决
将陌生的问题化为已知的问题加以解决，是问题解决的常见思维模式，对极坐标、参数方程的有关问题解决，最简洁的思路就是将极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程，再利用解析几何的知识解决问题，然而在有些情况下这种转化却会加大运算过程，有时还会出现无法计算结果的情形，近年来高考全国卷就经常出现这种情况，因此除了掌握化为普通直角坐标方程求解的算法外，还应关注运用本领域知识解决问题的算法.
【例16】【2018江苏卷】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．
【解析】因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为．

【评析】本题的解法多样，比如转化为平面直角坐标系中进行研究，如果通过本领域知识——极坐标系进行研究也是一个不错的选择，但对极坐标系中常见方程的类型要很熟悉.
（六）注重作图能力的培养
与解析几何相同，本部分核心内容也是利用代数的手段研究几何问题，因此正确的作图对于成功解题有着决定性作用，应养成边读边画，以图助理解，以图找思路的良好习惯，图形引领数形结合，战无不胜.
【例17】（2020·重庆西南大学附中高三）已知平面直角坐标系中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；
（2）过曲线C上任意一点E作与直线l的夹角为的直线，交l于点F，求的最小值.
【答案】（1）， ；（2）.​
【解析】（1）由得，两式相加并化简得.将代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程为，即，故曲线C的参数方程为（为参数）
（2）由（1）得，则E到l的距离，其中.
.
如图，过点作，交于，则，在中，，当，d取得最小值，故的最小值为​


二、典型问题剖析
（一）两种“互化”及其应用
【例18】（2020·河南高三）以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为，P是上一动点，，Q的轨迹为.
（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程，
（2）若点，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线的交点为A，B，当取最小值时，求直线l的普通方程.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）设点P，Q的极坐标分别为，)，
因为，
所以曲线的极坐标方程为，
两边同乘以ρ，得，
所以的直角坐标方程为，即.
（2）设点A，B对应的参数分别为，，则，
将直线l的参数方程，（为参数），
代入的直角坐标方程中，整理得.由根与系数的关系得.
∴，( 当且仅当时，等号成立)
∴当取得最小值时，直线l的普通方程为.
【评析】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、直线参数方程的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
（1）设点P，Q的极坐标分别为，)，利用这一关系，可得Q的极坐标方程，再化成普通方程，即可得答案；
（2）设点A，B对应的参数分别为，，则，将直线l的参数方程，（为参数），代入的直角坐标方程，利用韦达定理，从而将问题转化为三角函数的最值问题，求出此时的值，即可得答案.
（二）利用参数方程解决问题
【例19】【2019年上海市浦东新区高考一模】已知点，，P为曲线上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
设则由可得，
令，，
，，
，
，
，
，
.选A.
（三）利用的几何意义解决问题
【例20】（2020·全国高三）在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数）.直线的参数方程（为参数）.
（Ⅰ）求曲线在直角坐标系中的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由曲线的参数方程（为参数），得：，
曲线的参数方程化为普通方程为：；
（Ⅱ）解法一：中点极坐标化成直角坐标为.
设直线与曲线相交于，两点，则，.
则，②-①得：，
化简得：，即，
又，直线的倾斜角为；
解法二：中点极坐标化成直角坐标为，
将分别代入，得.
，
，即.
，即.
又，直线的倾斜角为.
（四）极坐标与参数方程的综合应用
【例21】【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.
【解析】
设,由题设得，消去k得.
所以C的普通方程为.

【例22】（2020·四川高三）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，直线与轴的交点为，与曲线相交于两点，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】(1) 曲线的普通方程为：
曲线的普通方程为：，即
由两圆心的距离，所以两圆相交，
所以两方程相减可得交线为，即.
所以直线的极坐标方程为.
(2) 直线的直角坐标方程：，则与轴的交点为
直线的参数方程为，带入曲线得.
设两点的参数为，
所以，，所以，同号.
所以
【评析】(1)先将和化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；
(2)先求出l的普通方程有，点，写出直线l的参数方程，代入曲线：，设交点两点的参数为，，根据韦达定理可得和，进而求得的值．

【新题好题针对训练】
一、单选题
1．（2020·北京101中学高三）已知曲线：（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】曲线化为普通方程为:,由，可得点在以为直径的圆上,又在曲线上,即直线与圆存在公共点,故圆心到的距离小于等于半径,根据点到直线的距离公式有:,解得,故选C.
2．（2020·吉林高三）在正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正方形的边长为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，直线的方程为，即，点到直线的距离为，
则以点为圆心且与直线相切的圆的方程为，
设点的坐标为，由，
得，，
所以，，
因此，的最大值为.故选：C.
二、填空题
3．（2020·北京市十一学校高三）在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为___．
【答案】
【解析】由曲线的参数方程为，
则曲线的普通方程为：
所以，则交点为
由，所以
则点极坐标为，故答案为：
4．（2020·浙江高三期末）已知正三角形的边长为4，是平面内一点，且满足，则的最大值是______，最小值是______.
【答案】不存在
【解析】设正三角形的外接圆为，则的直径，
，如图以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，

，则点在的优弧上，
设，
又，

，
，
，则，
则的最大值不存在，最小值是.
故答案为：最大值不存在，最小值是.
5．（2020·江苏高三）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ