高中数学高考专题08 不等式选讲（原卷版）

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备战2020高考数学最后冲刺存在问题之解决宝典专题八 不等式选讲【考生存在问题报告】 （一）绝对值不等式求解技能掌握不到位【例1】（2019·湖北黄冈中学高三）[选修4-5：不等式选讲]:已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值.【评析】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．（二）不能对条件进行正确的等价转化【例2】【2017全国卷Ⅲ23（2）】已知函数.若不等式的解集非空，求m的取值范围.【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式的解集非空”等价转化为解集非空，忽略了右边的代数式也是随着的变化而变化，左右两边的表示的是同一个数；错点二，将“不等式的解集非空”等价转化为“”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在使得不等式成立，等价于存在使得不等式成立，等价于即可.【例3】（2020·福建高三）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【评析】（1）分类讨论去掉绝对值后再解不等式；（2）由题意可得恒成立，令，利用绝对值三角不等式以及基本不等式可得，从而得出结论． （三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法【例4】（2020·广西高三）设，且.（1）求证：；（2）若，求证：.【评析】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路. （四）知识掌握不熟练，无法优选算法化简求解过程【例5】【2014全国卷Ⅱ24（1）】设函数=  证明：2；【评析】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解.【命题专家现场支招】一、解决问题的思考与对策（一）强化绝对值不等式的求解训练 高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，可以归纳为写成分段函数求解、利用函数图象求解、利用绝对值不等式性质求解等方法，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握绝对值不等式求解的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注.【例6】（2020·贵州高三）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且关于的不等式有解，求的取值范围.（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.【例7】（2020·黑龙江哈九中高三期末）已知.（1）若不等式的解集是区间的子区间，求实数a的取值范围；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【例8】（2020·江西高三）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围.【例9】（2020·江西高三）设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围．（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注.【例10】（2020·河南高三期末）已知函数，记不等式的解集为.（1）求；（2）设，证明：.【例11】（2020·重庆西南大学附中高三）已知实数a、b、.（1）若，求的最小值；（2）若，求证：. 二、典型问题剖析（一）含绝对值不等式的求解1．零点分段求解绝对值不等式的模型(1)求零点；(2)划区间，去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值号的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．2．绝对值不等式恒成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)形式；(2)转化最值：f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a；f(x)>a有解⇔f(x)max>a；f(x)<a有解⇔f(x)min<a；f(x)>a无解⇔f(x)max≤a；f(x)<a无解⇔f(x)min≥a；(3)得结论．【例12】【河南省九师联盟2019届高三2月检测】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设函数的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围.【例13】（2020·福建省福州第一中学高三期末）（1）解不等式；（2）若成立，求常数的取值范围.【评析】对于含绝对值的不等式的求解方法一般采用零点分段法，其解题步骤大致为：①求零点；②分区间、去绝对值号；③分别解各区间上所得不等式；④取所得结果的并集. 注意在分段时不要遗漏区间的端点值．也可以采用图象法，通过作出函数图象，利用数形结合的思想求解.（二）给定条件，求参数的取值范围【例14】（2020·深圳市南山区华侨城中学高三）已知函数(1)解不等式: f(x)<5;(2)当x∈R时，f(x)> ax+1,求实数a的取值范围.【评析】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．【例15】（2020·湖南师大附中高三）已知函数，．（1）解不等式；（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围．【评析】本题属于“恰成立”问题，对于“恰成立”问题，解决此类问题只需按照正常解不等式进行，再根据集合相等的条件即可求解.（三）不等式的证明对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法．(1)一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明，“平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法．(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出，则考虑用反证法．(3)能转化为比较大小的可以用比较法．(4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法．【例16】（2020·云南昆明一中高三）已知正数，，满足等式.证明：（1）；（2）.【例17】（2020·四川三台中学实验学校高三）已知，，，证明：(1)；(2).【评析】不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法.【新题好题针对训练】一、单选题1．（2020·浙江高三期末）若函数的最小值3，则实数的值为（ ）A．5或8 B．或5 C．或 D．或二、解答题2．（2020·湖南长郡中学高三）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值.3．（2020·山西高三）已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.4．（2020·山西大同一中高三）设函数，．（1）若不等式的解集为，求a的值；（2）若存在，使，求a的取值范围．5．（2020·海南高三）已知都是正数，求证：（1）；（2）.6．（2019·广西大学附属中学高三）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）正数满足，证明：.7．（2020·南昌市新建区第二中学高三）已知函数.（Ⅰ）解关于x的不等式；（Ⅱ）若a，b，，函数的最小值为m，若，求证：.8．（2020·河北衡水中学高三）已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，求的最小值.9．（2020·江西高三期末）已知函数.（1）解不等式； （2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.10．（2020·甘肃高三期末）已知函数（1）求不等式的解集；（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.11．（2019·云南昆明一中高三）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围.12．（2020·内蒙古高三期末）已知函数，.（1）解不等式；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.13．（2020·全国高三）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式成立，求实数a的取值范围.14．（2020·广东金山中学高三期末）已知函数，且的解集为．（1）求的值；（2）若是正实数，且，求证：.15．（2020·武邑县教育局教研室高三期末）已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．16．（2020·福建高三期末）设函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且正实数、满足，求的最小值.17．（2020·广东深圳中学高三期末）已知函数.(Ⅰ)若，求实数的取值范围；(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.18．（2020·陕西高三）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：当，时，恒成立.